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第一章 1.2 应用举例 第二课时 高度、角度问题课时分层训练1.如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)( )A．2.7m B．17.3mC．37.3mD．373m解析：选C 根据题图，由题意知CM＝DM.∴＝，∴CM＝×10≈37.3(m)，故选C.2．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )A．14.5km/hB．15.6km/hC．13.5km/hD．11.3km/h解析：选C由物理学知识，画出示意图如图．AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°.在△ADC中，由余弦定理，得AC＝＝＝≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )A．15米B．5米C．10米D．12米
解析：选C 如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理，得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．4．甲船在B岛的正南A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.minB．hC．21.5minD．2.15h解析：选A设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·＝28x2－20x＋100，∴当x＝h时，s2最小，即当航行时间为h＝min时，s最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为( )A．15mB．20mC．25mD．30m解析：选D 设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝
h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①cos∠PBC＝.②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30m.6．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m树根部为C(A、B、C在同一水平面上)，则∠ACB＝.解析：如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10.∵∠DBC＝30°，∴BC＝10，cos∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA
＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝m.解析：根据题图所示，AC＝100.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得＝⇒AM＝100.在△AMN中，＝sin60°，∴MN＝100×＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站10海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝＝＝，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，×60＝(分)．答案：9.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B
处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得＝，解得BC＝4(米)，即BC的长为4米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4，∴DC＝4sin75°.∵sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝，则DC＝2＋2，∴CE＝ED＋DC＝1.70＋2＋2≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD.根据题意，知在△ADC中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60°＝244t2－560t＋400＝2442＋400－244×2，∴当t＝时，CD2取得最小值，
即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．1．在一座20m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A．20mB．20(1＋)mC．10(＋)mD．20(＋)m解析：选B如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线．依题意得AB＝20，∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，从而可知MD＝20，AM＝20，CM＝20，∴CD＝20(1＋)(m)．2．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A. B． C. D．π解析：选C设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．则由题意知，sinα＝＝＝，又α∈，∴α＝.故选C.3.某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A．100mB．100mC．50(＋)m
D．200m解析：选A ∠BAC＝75°－30°＝45°.在△ABC中，AC＝100m，由正弦定理，得＝，∴BC＝＝＝100(m)．故选A.4．如图，在O点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P点，1分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过1分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为( )A. B． C. D．3解析：选C 由题意知，PQ＝QR，设其长为1，则PR＝2.在△OPR中，由正弦定理，得＝.在△OQR中，由正弦定理，得＝，则tan∠OPQ＝＝＝.故选C.5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.解析：设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝＝30(m)，BC＝＝30(m)，C＝30°，AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m)．答案：30
6．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船(填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C处，开始时，轮船在A处，航行30海里后，轮船在B处．由题意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，则∠ACB＝15°.由正弦定理，得BC＝＝＝＝15(＋)．在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从C点到B点历时14s，则这辆汽车的速度为m/s(精确到0.1，参数数据：≈1.414，≈2.236)．解析：由题意，AB＝200m，AC＝100m，在△ABC中，由余弦定理可得BC＝≈316．17m，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6m/s.答案：22.68.如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)nmile的两个观测点．现位于A点北偏东45°方向、B点北偏西60°方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B
点南偏西60°且与B点相距20nmile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得＝，即BD＝＝＝＝10nmile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20nmile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝＝＝30nmile，则救援船到达D点需要的时间为＝1(h)．
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