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第一章 1.4 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课时分层训练1.下列函数中,最小正周期为4π的是(  )A.y=sinx      B.y=cosxC.y=sinD.y=cos2x解析:选C y=sinx的最小正周期为2π,故A项不符合题意;y=cosx的最小正周期为2π,故B项不符合题意;y=sin的最小正周期为T=4π,故C项符合题意;y=cos2x的最小正周期为T=π,故D项不符合题意,故选C.2.函数y=2cos的最小正周期为4π,则ω等于(  )A.2B.C.±2D.±解析:选D ∵y=2cos=2cos,∴T==4π,∴ω=±,故选D.3.设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中点,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是(  ) A.B.πC.2πD.解析:选A 依题意得=,所以最小正周期为T=.故选A.4.定义在R上的函数y=f(x),满足f(x+2)=-,则(  )A.f(x)不是周期函数B.f(x)是周期函数,且最小正周期为2C.f(x)是周期函数,且最小正周期为4D.f(x)是周期函数,且4是它的一个周期解析:选D f(x+4)=-=f(x),∴T=4.5.若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ等于(  )A.B.C.D.解析:选C 因为f(x)=sin是偶函数,所以f(0)=±1.所以sin=±1.所以=kπ+(k∈Z).所以φ=3kπ+(k∈Z).又因为φ∈[0,2π]所以当k=0时,φ=,故选C.6.函数y=+2的最小正周期是.解析:∵函数y=sin2x的最小正周期T=π. ∴函数y=+2的最小正周期为.答案:7.函数y=的奇偶性为.解析:由题意,当sinx≠1时,y==cosx,所以函数的定义域为,由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.答案:非奇非偶函数8.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是.解析:由T=≤2,解得k≥4π.又k∈Z,所以满足题意的k的最小值是13.答案:139.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=coscos(π+x);(2)f(x)=+;(3)f(x)=(e为自然对数的底数).解:(1)易得x∈R,定义域关于原点对称.f(x)=coscos(π+x)=-sin2x(-cosx)=sin2xcosx.∴f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin2xcosx=-f(x).∴该函数是奇函数.(2)对任意x∈R,-1≤sinx≤1,∴1+sinx≥0,1-sinx≥0.∴f(x)=+的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=+=+=f(x), ∴该函数是偶函数.(3)∵esinx-e-sinx≠0,∴sinx≠0,∴x∈R且x≠kπ,k∈Z,∴定义域关于原点对称.又f(-x)===-f(x),∴该函数是奇函数.10.已知函数y=sinx+|sinx|.(1)画出函数的简图;(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.解:(1)y=sinx+|sinx|=函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.1.已知a∈R,函数f(x)=sinx+|a|-1,x∈R为奇函数,则实数a等于(  )A.0B.1C.-1D.±1解析:选D 由题意,得f(0)=0,即|a|-1=0,所以a=±1,即当a=±1时,f(x)=sinx为R上的奇函数.2.(2018·吉林大学附中期中)函数y=sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数,则φ的值是(  )A.0B.C.D.π 解析:选C ∵y=sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数,故由选项可验证知φ=.故选C.3.(2018·山东高一月考)函数f(x)=的奇偶性是(  )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数解析:选A 因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ+π,k∈Z},关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故选A.4.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是(  )A.y=cos|2x|B.y=|sinx|C.y=sinD.y=cos解析:选D 由条件知A、B、C均为偶函数,D中y=-sin2x,为奇函数,T==π,故选D.5.(2019·福建泉州高三月考)设函数f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=.解析:因为f(a)=a3cosa+1=11,所以a3cosa=10,所以f(-a)=-a3cos(-a)+1=-a3cosa+1=-9.答案:-96.设函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期为.若f=,则sinα的值为.解析:由题意知:T==,∴ω=4,∴f(x)=3sin. f=3sin=,即sin=.∴cosα=,∴sinα=±=±.答案:±7.(2019·四川蓉城名校联盟期末)已知函数f(x)=2sin-3x+1,则函数的最小正周期为.解析:函数f(x)=2sin+1=-2sin3x-+1,函数的最小正周期T=.答案:8.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx.(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式;(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图;(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.解:(1)若x∈,则-x∈.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.若x∈,则π+x∈. 因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx,所以x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图,如图所示:(3)由x∈[0,π]sinx≥,可得≤x≤,函数周期为π,所以x的取值范围是,k∈Z. 查看更多

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