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第三章 3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标3．3．2 两点间的距离课时分层训练1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是( )A．(4,1) B．(1,4)C.D.解析：选C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )A．6B.C．2D．不能确定解析：选B 由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝＝＝.3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )A．恒过定点(－2,3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2,3)和点(2,3)D．都是平行直线解析：选A (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，由得4．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称的点仍在l上，则a＋b等于( )A．1B．－1C．2D．0解析：选B ∵点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.
5．到A(1,3)，B(－5,1)两点的距离相等的动点P的轨迹方程是( )A．3x－y－8＝0B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y＋2＝0解析：选B 解法一：设P(x，y)，则＝，即3x＋y＋4＝0.解法二：到A、B两点距离相等的点P的轨迹就是线段AB的垂直平分线，AB中点为M(－2,2)，kAB＝，∴kl＝－3，l：y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是．解析：设对称点坐标是(a，b)，则解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为．解析：由方程组得又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，∴直线方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0.答案：5x－15y－18＝08．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为．解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是.答案：
9．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.10．已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.解：(1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0,2m＋m－1＝0，解得m＝，n＝－.(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，∴解得或(3)由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.当m＝0时，l1的方程为8y＋n＝0，l2的方程为2x－1＝0.∴－8＋n＝0，解得n＝8.∴m＝0，n＝8.而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知，m＝0，n＝8.1．直线l：x＋2y－1＝0关于点(1，－1)对称的直线l′的方程为( )A．2x－y－5＝0B．x＋2y－3＝0C．x＋2y＋3＝0D．2x－y－1＝0解析：选C 由题意得l′∥l，故设l′：x＋2y＋c＝0，在l上取点A(1,0)，则点A(1,0)关于点(1，－1)的对称点是A′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c＝0，即c＝3，故直线l′的方程为x＋2y＋3＝0，故选C.2．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为( )
A．3B.C．2D.解析：选D ∵|AB|＝＝≥，当且仅当x＝时等号成立，∴|AB|min＝.3．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )A．(1,3)B．(－1,3)C．(3,1)D．(3，－1)解析：选D 直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．由解得因此所求定点为(3，－1)．故选D.4．已知点A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是( )A．(1，－1)B．(－1,1)C.D．(－2,2)解析：选C 点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，直线A′B的方程为y＝x－，与x＋y＝0联立方程组解得所以点P.5．若两直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0与x轴围成三角形，则实数m的取值范围是．解析：当直线(m＋2)x－y－m＝0，x＋y＝0及x轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m＝－2时，(m＋2)x－y－m＝0与x轴平行；当m＝－3时，(m＋2)x－y－m＝0与x＋y＝0平行；当m＝0时，三条直线都过原点，所以m的取值范围为{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}．
答案：{m|m≠－3，且m≠－2，且m≠0}6．已知A(2,1)，B(1,2)，若直线y＝ax与线段AB相交，则实数a的取值范围是．解析：如图，直线y＝ax的斜率为a且经过原点O，∵直线y＝ax与线段AB相交，∴实数a的最小值为OA的斜率，最大值为OB的斜率，OA的斜率为，OB的斜率为2，故实数a的取值范围是.答案：7．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是．解析：解法一：由题意知直线l过定点P(0，－)，直线2x＋3y－6＝0与x，y轴的交点分别为A(3,0)，B(0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限，则直线l在直线AP与BP之间，而kAP＝＝，∴k>.解法二：解方程组得由题意知x＝>0且y＝>0.由>0可得3k＋2>0，∴6k－2>0，解得k>.答案：
8．已知△ABC的一个顶点A(2，－4)，且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．解：如图，BE，CF分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上．∵直线BE的方程为x＋y－2＝0，∴A′(6,0)．∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，∴A″.∴直线A′A″的方程是y＝(x－6)，即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程．由得B，由得C(6,0)，∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，AC所在直线方程是x－y－6＝0.
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