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第二章 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课时分层训练1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( )A.一定平行B.一定相交C.一定是异面直线D.一定垂直解析:选D 因为a⊥b,b∥c,则a⊥c,故选D.2.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条解析:选A 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直解析:选C 如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH,故选C.4.已知直线a,b,c,下列三个命题:①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.其中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3
解析:选A ①不正确如图;②不正确,有可能相交也有可能异面;③不正确.可能平行,可能相交也可能异面.5.异面直线a,b,有a⊂α,b⊂β且α∩β=c,则直线c与a,b的关系是( )A.c与a,b都相交B.c与a,b都不相交C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,b中的一条相交解析:选D 若c与a,b都不相交,∵c与a在α内,∴a∥c.又c与b都在β内,∴b∥c.由公理4,可知a∥b,与已知条件矛盾.如图,只有以下三种情况.6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成角的大小是________.解析:如图所示,连接AD1,则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角,连接CD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AD1=CD1,∴∠CAD1=60°,即AC与BC1所成的角为60°.答案:60°7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________(填序号).解析:直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误;③④正确.答案:③④8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.解析:如图,过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.答案:90°9.如图所示,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.证明:设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1.∵E是AA1的中点,∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1綊B1C1,∴EQ綊B1C1(平行公理).∴四边形EQC1B1为平行四边形.∴B1E綊C1Q.又∵Q,F是DD1,C1C两边的中点,∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形.∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形.10.如图所示,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解:取AC的中点F,连接EF,BF,在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,∴EF∥CD,∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,∴AB=AC=1,在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,∴BE=.在Rt△AEF中,AF=AC=,AE=,∴EF=.在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=.在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D
的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.垂直解析:选A 如图所示,连接BD1,CD1,CD1与C1D交于点F,由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形,在平行四边形A1BCD1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,所以EF∥BD1,所以直线A1B与直线EF相交,故选A.2.在三棱锥A-BCD中,AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH是( )A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形解析:选B 如图,在△ABD中,点H,E分别为边AD,AB的中点,所以HE綊BD,同理GF綊BD,所以HE綊GF,所以四边形EFGH为平行四边形.又AC⊥BD,所以HG⊥HE,所以四边形EFGH是矩形,故选B.3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成的角的大小是( )A.60°B.75°C.90°D.105°解析:选C 设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=,B1C2=,AC2=,所以AC=AB+B1C,则∠AB1C2=90°.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )A.0°
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