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人教版数学九年级上册专项培优练习十《二次函数实际应用解答题专练》1.用一根长是20cm的细绳围成一个长方形(如图)，这个长方形的一边的长为xcm，它的面积为ycm2.(1)写出y与x之间的关系式，在这个关系式中，哪个是自变量？它的取值应在什么范围内？(2)用表格表示当x从1变到9时(每次增加1)，y的相应值；(3)从上面的表格中，你能看出什么规律?(4)猜想一下，怎样围法，得到的长方形的面积最大？最大是多少2.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元.市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：(1)求y与x的关系式；(2)当x取何值时，y的值最大？(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y箱与销售价x元/箱之间的函数关系式.(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？4.某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB=x(m)(x＞0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
5.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x(秒)，△PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值.6.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD(不含AD)构成.矩形的长BC为8m，宽AB为2m.以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如果该隧道内仅设双行道，现有一辆卡车高4.2m，宽2.4m，那么这辆卡车能否通过该隧道？
7.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200﹣2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？8.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图1所示：种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系，如图2所示(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)在(2)的基础上要保证获利在22万元以上，该园林专业户应怎样投资？
9.某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=﹣2x+120.(1)第40天，该厂生产该产品的利润是 元；(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？10.如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm.(1)底面的长AB=cm，宽BC=cm(用含x的代数式表示)(2)当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容积.(3)该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由..
11.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=－x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？12.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
13.大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出=商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用).已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款).(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？14.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元?(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元.在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？
15.我市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示)；该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元.(毛利润=销售额﹣生产费用)(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；(写出自变量x的取值范围)(2)求W与x之间的函数关系式；(写出自变量x的取值范围)；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
参考答案1.解：(1)y=10﹣x)·x，x是自变量，它的值应在0到10之间(不包括0和10) (2)如下表： x12345678910 y9162124252421169 (3)可以看出：①当x逐渐增大时，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越快；③当x取距5等距离的两数时，得到的两个y值相等. (4)从表中可以发现x=5时，y取到最大的值25.2.解：(1)y=(x﹣50)•w=(x﹣50)•(﹣2x+240)=﹣2x2+340x﹣12000，∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣12000.(2)y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2(x﹣85)2+2450∴当x=85时，y的值最大.(3)当y=2250时，可得方程﹣2(x﹣85)2+2450=2250解这个方程，得x1=75，x2=95根据题意，x2=95不合题意应舍去∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元.3.解：(1)y=﹣3x+240；(2)w=﹣3x2+360x﹣9600；(3)销售价为55元时获得最大利润1125元.4.解：(1)AB=x(m)，可得BC=69＋3－2x=(72－2x)(m).(2)小英说法正确，理由如下：矩形面积S=x(72－2x)=－2(x－18)2＋648，∵72－2x＞0，∴x＜36，∴0＜x＜36，∴当x=18时，S取最大值，此时x≠72－2x，∴面积最大的不是正方形.
5.解：(1)∵S△PBQ=PB·BQ，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，∴y=(18－2x)x，即y=－x2＋9x(0＜x≤4)(2)由(1)知：y=－x2＋9x，∴y=－(x－)2＋20，∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm26.解：(1)由题意，得点E(0，6)，D(4，2).设抛物线的函数表达式为y=ax2＋c，则有解得∴y=－x2＋6.(2)当x=2.4时，y=－×2.42＋6=4.56>4.2，∴这辆卡车能通过该隧道.7.解：(1)当1≤x＜50时，y=(200﹣2x)(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=(200﹣2x)(90﹣30)=﹣120x+12000，综上所述：y=；(2)当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
8.解：(1)设y1=kx，由图1所示，函数y1=kx的图象过(1，2)，所以2=k•1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x(x≥0)；∵该抛物线的顶点是原点，∴设y2=ax2，由图2所示，函数y2=ax2的图象过(2，2)，∴2=a•22，解得：a=，故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2(x≥0)；(2)因为种植花卉x万元(0≤x≤8)，则投入种植树木(8﹣x)万元w=2(8﹣x)+0.5x2=x2﹣2x+16=(x﹣2)2+14∵a=0.5＞0，0≤x≤8，∴当x=2时，w的最小值是14∵a=0.5＞0∴当x＞2时，w随x的增大而增大∵0≤x≤8∴当x=8时，w的最大值是32.(3)根据题意，当w=22时，(x﹣2)2+14=22，解得：x=﹣2(舍)或x=6，∵w=(x﹣2)2+14在2≤x≤8的范围内随x的增大，w增大，∴w＞22，只需要x＞6，故保证获利在22万元以上，该园林专业户应投资超过6万元.9.解：(1)由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z=﹣2×40+120=40则第40天的利润为：(80﹣40)×40=1600元.故答案为1600(2)①；设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把(0，70)(30，40)代入得，解得∴直线AB的解析式为y=﹣x+70
(Ⅰ)当0＜x≤30时w=[80﹣(﹣x+70)](﹣2x+120)=﹣2x2+100x+1200=﹣2(x﹣25)2+2450∴当x=25时，w最大值=2450(Ⅱ)当30＜x≤50时，w=(80﹣40)×(﹣2x+120)=﹣80x+4800∵w随x的增大而减小∴当x=31时，w最大值=2320∴第25天的利润最大，最大利润为2450元②(Ⅰ)当0＜x≤30时，令﹣2(x﹣25)2+2450=2400元，解得x1=20，x2=30∵抛物线w=﹣2(x﹣25)2+2450开口向下由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1=11天(Ⅱ)当30＜x≤50时，由①可知当天利润均低于2400元综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天.10.解：(1)∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm，∴底面的长AB=(50﹣2x)cm，宽BC=(30﹣2x)cm，(2)依题意，得：(50﹣2x)(30﹣2x)=300整理，得：x2﹣40x+300=0解得：x1=10，x2=30(不符合题意，舍去)当x1=10时，盒子容积=(50﹣20)(30﹣20)×10=3000(cm3)；(3)盒子的侧面积为：S=2x(50﹣2x)+2x(30﹣2x)=100x﹣4x2+60x﹣4x2=﹣8x2+160x=﹣8(x2﹣20x)=﹣8[(x﹣10)2﹣100]=﹣8(x﹣10)2+800∵﹣8(x﹣10)2≤0，∴﹣8(x﹣10)2+800≤800，∴当x=10时，S有最大值，最大值为800.11.解：(1)由题意，得点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(3，)，
∴解得∴该抛物线的函数关系式为y=－x2＋2x＋4.∵y=－x2＋2x＋4=－(x－6)2＋10，∴拱顶D到地面OA的距离为10m.(2)当x=6＋4=10时，y=－x2＋2x＋4=－×102＋2×10＋4=＞6，∴这辆货车能安全通过.(3)当y=8时，－x2＋2x＋4=8，即x2－12x＋24=0，∴x1=6＋2，x2=6－2.∴两排灯的水平距离最小是6＋2－(6－2)=4(m).12.解：(1)由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过(0，0.5)(0.8，3.5)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5；(2)把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.13.解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx＋b，将x=110，y=50；x=115，y=45分别代入，得110k+b=50,115k+b=45,解得k=-1,b=160.∴y=－x＋160(0＜x≤160)；
(2)由已知可得50×110=50a＋3×100＋200，解得a=100.设每天的毛利润为W元，则W=(x－100)(－x＋160)－2×100－200=－x2＋260x－16400=－(x－130)2＋500，∴当x=130时，W取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t天才能还清集资款，则500t≥50000＋0.0002×50000t，解得t≥102.∵t为整数，∴t的最小值为103天.答：该店最少需要103天才能还清集资款.14.解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价是y元.据题意，得解得答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则s=(1﹣m)(500+100×)+(5﹣3﹣m)(300+100×)即s=﹣2000m2+2200m+1100=﹣2000(m﹣0.55)2+1705.∴当m=0.55时，s有最大值，最大值为1705.答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.15.解：(1)图①可得函数经过点(100，1000)，设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，将点(100，1000)代入得：1000=10000a，解得：a=，故y与x之间的关系式为y=x2.图②可得：函数经过点(0，30)、(100，20)，设z=kx+b，则，解得：，
故z与x之间的关系式为z=﹣x+30(0≤x≤100)；(2)W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2=﹣x2+30x=﹣(x2﹣150x)=﹣(x﹣75)2+1125，∵﹣＜0，∴当x=75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；(3)令y=360，得x2=360，解得：x=±60(负值舍去)，由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=﹣(x﹣75)2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x=60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元.
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