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人教版数学八年级上册专项培优练习七《等边三角形》一、选择题1.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于()A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AB等于()A.2∶1B.1∶2C.1∶3D.2∶33.如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为( )cmA.1B.2C.3D.44.一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，则∠1=()A.50° B.60° C.70° D.80°5.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E.如果AD=1，BC=6，那么CE等于( )A.5B.4C.3D.2
6.给出下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的是()A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④7.如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是( )A.△DEF是等边三角形B.△ADF≌△BED≌△CFEC.DE=ABD.S△ABC=3S△DEF8.已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是( )A.3B.4C.8D.99.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状
10.如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB.DA=6cm，∠B+∠C=150°.CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是( )A.12B.15C.16D.1811.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=()A.3B.4C.5D.612.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是()A.4B.5C.6D.7二、填空题13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AE=10cm，则BC=cm.14.如图，M、N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN.则∠BAN= .15.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______.
16.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE=m.17.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=.18.如图，AC=4，点B是线段AC的中点，直线l过点C且与AC的夹角为60°，则直线l上有点P，使得∠APB=30°，则PC的长为.三、解答题19.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，当t=2s时，判断△BPQ的形状，并说明理由.
20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B=30°，CD=1，求BD的长.21.如图，已知△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上.(1)请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由.(2)如果∠B=60°，证明：CD=3BD.
22.如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA.(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM、AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由.23.已知点A、C、B在同一条直线上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.求证：(1)AE=BD；(2)△CMN为等边三角形
24.已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点.(1)如图①所示，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；(2)如图②所示，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.25.已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上.(1)如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；(2)如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC.(提示：在FA上截取FM=AE，连接DM)
参考答案1.D2.B3.C4.C5.B6.D7.D8.C9.D10.D.11.C12.A13.答案为：5.14.答案为：90°；15.答案为：4cm，2cm.16.答案为：2.17.答案为：.18.答案为：4或2.19.解：△BPQ是等边三角形.理由：当t=2s时，AP=2×1=2(cm)，BQ=2×2=4(cm).∴BP=AB－AP=6－2=4(cm).∴BQ=BP.又∵∠B=60°，∴△BPQ是等边三角形.20.证明：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)；(2)∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2.21.解：(1)AB+BD=DC，证明：∵AB=AE，AD⊥BC，∴BD=DE，∵点E在AC的垂直平分线上，∴AE=CE，∴AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC；(2)证明：∵AB=AE，AD⊥BC，∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴2BD=AB，∵DC=AB+BD=2BD+BD=3BD，∴DC=3BD.22.证明：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°.又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC，∠EDC+∠DEC=∠ACB，∴∠BAD+∠DAC=∠EDC+∠DEC.∵DE=DA，∴∠DAC=∠DEC，∴∠BAD=∠EDC.(2)猜想：DM=AM.理由如下：∵点M、E关于直线BC对称，∴∠MDC=∠EDC，DE=DM.
又由(1)知∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD.∵∠ADC=∠BAD+∠B，即∠ADM+∠MDC=∠BAD+∠B，∴∠ADM=∠B=60°.又∵DA=DE=DM，∴△ADM是等边三角形，∴DM=AM.23.证明：(1)∵△DAC、△EBC均是等边三角形∴AC=DC，EC=BC，∠1=∠2=60°∵∠ACE=∠1+∠3,∠DCB=∠2+∠3∴∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，EC=BC∴△ACE≌△DCB(SAS)∴AE=DB.(2)由(1)可知：△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB即∠CAM=∠CDN∵△DAC、△EBC均是等边三角形∴AC=DC，∠1=∠2=60°.又∵点A、C、B在同一条直线上∴∠1+∠2+∠3=180°∴∠3=60°∴∠1=∠3在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDN，AC=DC，∠1=∠3∴△ACM≌△DCN(ASA)
∴CM=CN∵∠3=60°∴△CMN为等边三角形24.解：(1)证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°.∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ACB=∠ACD=30°，∴AB=AD=AC，∴AB+AD=AC.(2)成立.理由：方法一：如图①，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.图①∵AC平分∠MAN，∴∠CAE=∠CAF.又∵CE⊥AM，CF⊥AN，∴CE=CF.∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，∴∠CDE=∠ABC.又∵∠CED=∠CFB=90°，CE=CF，∴△CED≌△CFB，∴ED=FB，∴AB+AD=AF+FB+AE-ED=AF+AE.由(1)可得AF+AE=AC，∴AB+AD=AC.方法二：如图②，在AN上截取AG=AC，连接CG.
图②∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，∴∠MAC=∠CAB=60°.又∵AG=AC，∴△ACG为等边三角形，∴∠AGC=60°，CG=AC=AG.∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠GBC=180°，∴∠GBC=∠ADC.又∵∠CAD=∠CGB=60°，AC=GC，∴△CBG≌△CDA，∴BG=AD，∴AB+AD=AB+BG=AG=AC.25.证明：(1)∵∠BAC=∠EDF=60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，在△BCE和△ACD中∴△BCE≌△ACE(SAS)，∴AD=BE，∴AE+A=AE+BE=AB=AF：(2)在FA上截取FM=AE，连接DM，∵∠BAC=∠EDF，∴∠AED=∠MFD，在△AED和△MFD中
，∴△AED≌△MFD(SAS)，∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，即∠ADM=∠EDF=∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM(SAS)，∴AM=BC，∴AE+BC=FM+AM=AF.即AF=AE+BC.
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