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人教版高中数学选择性必修第一册2.4《圆的方程》同步精选卷一、选择题已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( )A.x2＋y2－x＝0B.x2＋y2＋y－1＝0C.x2＋y2－y－2＝0D.x2＋y2－x＋y＝0【答案解析】答案为：B解析：设P(x0，y0)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x0＝2x，y0＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简得x2＋y2＋y－1＝0.故选B.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(,+∞)B.(-,0)C.(－2,0)D.(-2,)【答案解析】答案为：D.解析：方程化简为2＋(y＋a)2=1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.]圆x2＋y2－2x－2y＋1=0上的点到直线x－y=2距离的最大值是( )A.1＋B.2C.1＋D.2＋2【答案解析】答案为：A.解析：将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2=1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y=2的距离d==，故圆上的点到直线x－y=2距离的最大值为d＋1=＋1，选A.]圆(x－2)2＋y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是( )A.(x－)2＋(y－1)2=4B.(x－)2＋(y－)2=4C.x2＋(y－2)2=4D.(x－1)2＋(y－)2=4【答案解析】答案为：D.解析：设所求圆的圆心为(a，b)，则∴∴圆的方程为(x－1)2＋(y－)2=4.]圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )A.x2＋(y－2)2=1B.x2＋(y＋2)2=1C.(x－1)2＋(y－3)2=1D.x2＋(y－3)2=1【答案解析】答案为：A.解析：设圆心为(0，a)，则=1，解得a=2，故圆的方程为x2＋(y－2)2=1.故选A.]一个圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为( )A.(x－)2＋y2＝B.(x＋)2＋y2＝C.(x－)2＋y2＝D.(x－)2＋y2＝【答案解析】答案为：C解析：由题意可得圆经过点(0,1)，(0，－1)和(2,0)，设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，则，解得a＝，r2＝，则该圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A.5x＋12y＋20＝0B.5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C.5x－12y＋20＝0D.5x－12y＋20＝0或x＋4＝0【答案解析】答案为：B解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有＝3，∴k＝－.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.故选B.已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴.过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A.2B.4C.6D.2【答案解析】答案为：C解析：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，知直线l过圆心C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝＝＝6.故选C.已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A.3B.6C.4D.2【答案解析】答案为：D解析：圆x2＋y2－4x＋2y＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心M(2，－1)，半径r＝，最长弦为圆的直径，∴AC＝2.∵BD为最短弦，∴AC与BD垂直，易求得ME＝，∴BD＝2BE＝2＝2.S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝BD·EA＋BD·EC＝BD·(EA＋EC)＝BD·AC＝×2×2＝2.故选D.由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A.1B.2C.D.3【答案解析】答案为：C解析：解法一：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径长为r＝1，故切线长的最小值为＝＝.解法二：易知P(m，m＋1)在直线y＝x＋1上，由切线长公式得|PC|＝＝，由m∈R可得|PC|min＝.若方程－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围( )A.－4≤m≤4B.－4≤m≤4C.－4≤m≤4D.4≤m≤4【答案解析】答案为：B解析：由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4.故选B.已知a，b是实数，若圆(x－1)2＋(y－1)2
＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，则a＋b的取值范围是( )A.[2－2，2＋]B.(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.(－∞，－2]∪[2＋2，＋∞)【答案解析】答案为：B解析：∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线(a＋1)x＋(b＋1)y－2＝0相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，即ab＝a＋b＋1，∴a＋b＋1≤，∴a＋b≤2－2或a＋b≥2＋2，故选B.二、填空题圆x2＋y2＋2x－2y＝0的半径为________.【答案解析】答案为：解析：由x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2，所以所求圆的半径为.已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆的方程是__________．【答案解析】答案为：x2＋y2－6x－2y=0解析：法一：设三角形OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，依题意可得解得故三角形OAB的外接圆的方程是x2＋y2－6x－2y=0.法二：因为直线OA的斜率kOA==2，直线AB的斜率kAB==－，kAB×kOA=2×（-）=－1，所以三角形OAB是直角三角形，点A为直角顶点，OB为斜边，因为|OB|==，故外接圆的半径r===，又OB的中点坐标为(3，1)，故三角形OAB的外接圆的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2=10，即x2＋y2－6x－2y=0.若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为________.【答案解析】答案为：0解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心为C(1，－2)，因为直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，所以圆心C(1，－2)在直线2x＋y＋m＝0上，所以2×1－2＋m＝0，解得m＝0.已知AB为圆x2＋y2=1的一条直径，点P为直线x－y＋2=0上任意一点，则·的最小值为________.【答案解析】答案为：1.解析：由题意，设A(cosθ，sinθ)，P(x，x＋2)，则B(－cosθ，－sinθ)，∴=(cosθ－x，sinθ－x－2)，=(－cosθ－x，－sinθ－x－2)，∴·=(cosθ－x)(－cosθ－x)＋(sinθ－x－2)·(－sinθ－x－2)=x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ=2x2＋4x＋3=2(x＋1)2＋1，当且仅当x=－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.三、解答题已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.【答案解析】解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，∴圆C1的圆心坐标为C1(3,0).(2)设M(x，y)，∵A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，∴由圆的性质知：MC1⊥MO，∴·＝0.又∵＝(3－x，－y)，＝(－x，－y)，∴由向量的数量积公式得x2－3x＋y2＝0.易知直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为y＝mx，当直线l与圆C1相切时，d＝＝2，解得m＝±.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x2－30x＋25＝0，解得x＝.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0).又∵直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，∴
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