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2023年人教版数学八年级上册13.4《课题学习最短路径问题》课时练习一、选择题已知点A,B是两个居民区的位置,现在准备在墙l边上建立一个垃圾站点P,如图是4位设计师给出的规划图,其中PA+PB距离最短的是()【答案解析】答案为:D.直线l是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是()【答案解析】答案为:D.A、B是直线l上的两点,P是直线l上的任意一点,要使PA+PB的值最小,那么点P的位置应在()A.线段AB上B.线段AB的延长线上C.线段AB的反向延长线上D.直线l上【答案解析】答案为:A.在如图所示的4×4的正方形网格中,有A、B两点,在直线a上求一点P,使PA+PB最小,则点P应选在( )A.C点B.D点C.E点D.F点【答案解析】答案为:A.如图,直线l外不重合的两点A,B,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的长度最短,作法为:①作点B关于直线l的对称点B/②连接AB/,与直线l相交于点C,则点C为所求作的点.
在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )A.转化思想B.三角形的两边之和大于第三边C.两点之间,线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角【答案解析】答案为:D.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于D点,且AD=4,若P点在边AC上移动,则BP的最小值是()A.4.5B.4.6C.4.7D.4.8【答案解析】答案为:D.如图,在锐角△ABC中,AB=AC=10,S△ABC=25,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是()A.4B.C.5D.6【答案解析】答案为:C.如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°【答案解析】答案为:B.如图,点P是∠AOB内任意一点,且∠AOB=40°,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,当△PMN的周长取最小值时,∠MPN的度数为( )A.140°B.100°C.50°D.40°【答案解析】答案为:C.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,AD平分∠
BAC,点PQ分别是AB、AD边上的动点,则PQ+BQ的最小值是()A.4B.5C.6D.7【答案解析】答案为:C.二、填空题如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则BP+EP的最小值等于线段 的长度.【答案解析】答案为:CE.如图,∠BAC=30°,AB=4,点P是射线AC上的一动点,则线段BP的最小值是______.【答案解析】答案为:2.如图,OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线,MD=5cm,MC=7cm,CD=10cm,一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E,再爬到OB边上任意一点F,然后爬回M点处,则小蚂蚁爬行的路径最短为 .【答案解析】答案为:10cm.如图,CD⊥AB,垂足是D,AC=7,BC=5,CD=4,点E是线段AB上的一个动点(包括端点),连接CE,那么CE的范围是 .【答案解析】答案为:4≤CE≤7.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,连接AD,且CD=5,AD=13,直线EF是腰AC的垂直平分线,若点M在EF上运动,则△CDM周长的最小值为 .
【答案解析】答案为:18.如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8,点M为AB的中点,若∠CMD=120°,则CD的最大值是_______.【答案解析】答案为:14.解:如图,作点A关于CM的对称点A′,点B关于DM的对称点B′.∵∠CMD=120°,∴∠AMC+∠DMB=60°,∴∠CMA′+∠DMB′=60°,∴∠A′MB′=60°,∵MA′=MB′,∴△A′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=2+4+8=14,∴CD的最大值为14.三、作图题八年级(1)班同学做游戏,在活动区域边OP放了一些球(如图),则小明按怎样的路线跑,去捡哪个位置的球,才能最快拿到球跑到目的地A?【答案解析】解:如图所示:
四、解答题如图,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线,点P是直线m上的一动点,若AB=6,AC=4,BC=7,(1)求PA+PB的最小值,并说明理由;(2)求△APC周长的最小值.【答案解析】解:(1)PA+PB=AB=6;原因:两点之间,线段最短;(2)∵m是BC的垂直平分线,点P在m上,∴点C关于直线m的对称点是点B,则PB=PC,∵C△ABC=AP+PC+AC,∵AC=4,要使△APC周长最小,即AP+PC最小,当点P是m与AB的交点时,PA+PB最小,即PA+PB=AB,此时C△APC=AB+AC=6+4=10.如图(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的作法是这样的:①作点B关于直线l的对称点B′.②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).(2)请直接写出△PDE周长的最小值:______.【答案解析】解:(1)作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求;(2)∵点D、E分别是AB、AC边的中点,∴DE为△ABC中位线,∵BC=6,BC边上的高为4,∴DE=3,DD′=4,∴D′E2=DE2+DD′2=32+42=25,∴D′E=5∴△PDE周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8,五、综合题(1)如图1,在AB直线一侧C、D两点,在AB上找一点P,使C、D、P三点组成的三角形的周长最短,找出此点并说明理由.(2)如图2,在∠AOB内部有一点P,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由.(3)如图3,在∠AOB内部有两点M、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短,找出E、F两点,并说明理由.【答案解析】解:(1)如图1,作C关于直线AB的对称点C′,连接C′D交AB于点P.则点P就是所要求作的点.
理由:在l上取不同于P的点P′,连接CP′、DP′.∵C和C′关于直线l对称,∴PC=PC′,P′C=P′C′,而C′P+DP<C′P′+DP′,∴PC+DP<CP′+DP′∴CD+CP+DP<CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长.(2)如图2,作P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F,则点E,F就是所要求作的点.理由:在OA,OB上取不同于E,F的点E′,F′,连接CE′、E′P′,∵C和P关于直线OA对称,∴PE=CE,CE′=PE′,PF=DF,PF′=DF′,∵PE+EF+PF=CE+EF+DF,PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′,∴CE+EF+DF<CE′+E′F′+DF′,′∴PE+EF+PF<PE′+PF′+E′F′(3)如图3,作M关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于E,OB于F,则点E,F就是所要求作的点.理由:在OA,OB上取不同于E,F的点E′,F′,连接CE′、E′P′,∵C和P关于直线OA对称,∴PE=CE,CE′=PE′,PF=DF,PF′=DF′,由(2)得知MN+ME+EF+MF<ME′+E′F′+F′D.
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