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3 匀变速直线运动的位移与时间的关系[学习目标] 1.知道匀速直线运动的位移与vt图像中矩形面积的对应关系.2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题．(重点、难点) 3.了解利用极限思想推导位移公式的方法.4.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系．(重点) 5.会应用速度与位移的关系式分析有关问题．(难点)一、匀速直线运动的位移1．位移公式：x＝vt.2．vt图像特点(1)平行于时间轴的直线．(2)位移在数值上等于vt图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．二、匀变速直线运动的位移1．位移在vt图像中的表示(1)微元法推导①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移． 甲 乙 丙(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着vt图像中的图线与对应的时间轴所包围的面积．-12-
2．位移与时间的关系⇨x＝v0t＋at2.三、速度与位移的关系1．公式：v2－v＝2ax.2．推导速度公式v＝v0＋at.位移公式x＝v0t＋at2.可得到速度和位移的关系式：v2－v＝2ax.1．正误判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动．(×)(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)(3)公式v2－v＝2ax只适用于匀变速直线运动．(√)(4)初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大．(×)(5)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素有关．(√)2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2m/s2，则2s末速度和位移分别为( )A．4m/s 4m B．2m/s 4mC．4m/s 2mD．2m/s 2mA [物体初速度v0＝0，a＝2m/s2，t＝2s，则v＝v0＋at＝0＋2×2m/s＝4m/s，x＝v0t＋at2＝0＋×2×22m＝4m，故A正确．]3．如图所示，一辆正以8m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1m/s2的加速度匀加速行驶，则汽车行驶了18m时的速度为( )A．8m/sB．12m/sC．10m/sD．14m/sC [由v2－v＝2ax和v0＝8m/s，a＝1m/s2，x＝18m可求出：v＝10m/s，故C正确．]-12-
匀变速直线运动的位移1.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向．一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：运动情况取值若物体做匀加速直线运动a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)若物体做匀减速直线运动a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)若位移的计算结果为正值说明位移的方向与规定的正方向相同若位移的计算结果为负值说明位移的方向与规定的正方向相反3.公式的两种特殊形式(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．【例1】 国歌从响起到结束的时间是48s，国旗上升的高度是17.6m．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4s，然后匀速运动，最后匀减速运动4s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：(1)国旗匀加速运动的加速度大小；(2)国旗匀速运动时的速度大小．思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和．②国旗匀速上升的时间为48s－4s－4s＝40s.③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．[解析] 由题意知，国旗匀加速上升时间t1＝4s，匀减速上升时间t3＝4s，匀速上升时间t2＝t总－t1－t3＝40s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2对于国旗减速上升阶段：x3＝vt3－a2t根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2x1＋x2＋x3＝17.6m-12-
由以上各式可得：a1＝0.1m/s2v＝0.4m/s.[答案] (1)0.1m/s2 (2)0.4m/s对公式x＝v0t－at2的理解(1)表示以初速度方向为正方向的匀减速直线运动．(2)a表示加速度的大小，即加速度的绝对值．1．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车后6s内汽车通过的位移之比为( )A．1∶1 B．1∶3C．3∶4D．4∶3C [汽车从刹车到停止用时t刹＝＝s＝4s，故刹车后2s和6s内汽车的位移分别为x1＝v0t－at2＝20×2m－×5×22m＝30m，x2＝v0t刹－at＝20×4m－×5×42m＝40m，x1∶x2＝3∶4，故C正确．]匀变速直线运动的两个重要推论1.平均速度：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即＝v＝(v0＋v)＝.推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.由x＝v0t＋at2得，①平均速度＝＝v0＋at②由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，v＝v0＋a③由②③得＝v④-12-
又v＝v＋a⑤联立以上各式解得v＝，所以＝v＝.2．逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2推导：时间T内的位移x1＝v0T＋aT2①在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③联立①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度．【例2】 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度、末速度及加速度．[解析] 解法一：基本公式法如图所示，由位移公式得x1＝vAT＋aT2x2＝vA·2T＋a(2T)2－vC＝vA＋a·2T将x1＝24m，x2＝64m，T＝4s代入以上三式，解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s，vC＝21m/s.解法二：平均速度法连续两段相等时间T内的平均速度分别为1＝＝m/s＝6m/s，2＝＝m/s＝16m/s且1＝，2＝，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝m/s＝11m/s解得vA＝1m/s，vC＝21m/s加速度为a＝＝m/s2＝2.5m/s2.解法三：逐差法-12-
由Δx＝aT2可得a＝＝m/s2＝2.5m/s2又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T联立解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.[答案] 1m/s 21m/s 2.5m/s2速度的四种求解方法(1)基本公式法，设出初速度和加速度，列方程组求解．(2)推论法，利用逐差法先求加速度，再求速度．(3)平均速度公式法，弄清最大速度是第一个过程的末速度，第二个过程的初速度．平均速度整个过程不变．(4)图像法，通过画vt图像求解．2．一质点做匀变速直线运动，第3s内的位移为12m，第5s内的位移为20m，则该质点运动过程中( )A．初速度大小为零B．加速度大小为4m/s2C．第4s内的平均速度为8m/sD．5s内的位移为50mB [根据题意，v2.5＝12m/s，v4.5＝20m/s，故a＝＝＝m/s2＝4m/s2，选项B正确；初速度大小v0＝v2.5－at2.5＝12m/s－4m/s2×2.5s＝2m/s，选项A错误；第4s内的平均速度等于3.5s时刻的瞬时速度，即为v3.5＝v2.5＋at1＝12m/s＋4×1m/s＝16m/s，选项C错误；5s内的位移为x＝v0t5＋at＝60m，选项D错误．]速度与位移的关系式1.适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值．(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x-12-
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