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培优点七解三角形1．解三角形中的要素例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．【答案】【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：，代入可解得：．由可得：，所以．2．恒等式背景例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，且有．（1）求；（2）若，且的面积为，求，．【答案】（1）；（2）2，2．【解析】（1），即∴或（舍），∴；（2），，∴，可解得．
对点增分集训一、单选题1．在中，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：．故选A．2．在中，三边长，，，则等于（）A．19B．C．18D．【答案】B【解析】∵三边长，，，∴，．故选B．3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】∵，由正弦定理，，∴，∵，，为的内角，∴，，，∴，，整理得，∴，即．故一定是等腰三角形．故选C．
4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知，，，∴由余弦定理，可得：，解得：，，∴．故选A．5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据正弦定理由得：，所以，即，则，又，所以．故选A．6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（）A．1B．C．2D．4【答案】A【解析】因为，所以，化为，所以，又因为，所以，由正弦定理可得，所以，故选A．7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为，所以，也就是，所以，从而，故，为等边三角形．故选C．8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】利用正弦定理化简已知的等式得：，即，∵，，为三角形的内角，∴，即，则为直角三角形，故选B．9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（）A．8B．16C．32D．64【答案】A【解析】因为，所以，又，∴，解方程组得，，由余弦定理得，所以．故选A．10．在中，，，分别为角，，所对的边．若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，
∵，可得：，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为C．11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【解析】∵，由正弦定理得：，，代入，得，∴进而可得，∴，则是等边三角形．故选D．12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A．B．C．或D．【答案】B【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，去分母移项得：，所以，所以．由同角三角函数得，由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．二、填空题13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；【答案】【解析】在中，由角的余弦定理可知
，又因为，所以．当且仅当，时等号成立．14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．【答案】【解析】∵的三边，，成等比数列，∴，得，又∵，∴，，可得，故答案为．15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________【答案】【解析】∵，∴，则，结合正弦定理得，即，由余弦定理得，化简得，故，，故答案为．16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，则面积的取值范围是__________．【答案】【解析】∵中，，成等差数列，∴．由正弦定理得，∴，，
∴，∵为锐角三角形，∴，解得．∴，∴，∴，故面积的取值范围是．三、解答题17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴，∴．（2）由可得．∴，∵，∴由余弦定理得：，∴．
18．如图，在中，点在边上，，，．．（1）求的面积．（2）若，求的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，在中，由余弦定理可得即或（舍），∴的面积．（2）在中，由正弦定理得，代入得，由为锐角，故，所以，在中，由正弦定理得，∴，解得．
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