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课时作业51 抛物线一、选择题1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的准线经过点(1，－1)，则抛物线的焦点坐标为( A )A．(0,1)B．(0,2)C．(1,0)D．(2,0)解析：由抛物线x2＝2py(p>0)的准线为y＝－＝－1，得p＝2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)．2．直线l过抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B )A．y2＝－12xB．y2＝－8xC．y2＝－6xD．y2＝－4x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|＝－(x1＋x2)＋p＝8.又AB的中点到y轴的距离为2，∴－＝2，∴x1＋x2＝－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为y2＝－8x.故选B.3．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为( A )A．(1,2)或(1，－2)B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2)D．(1,4)解析：设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．4．已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C的焦点F，且与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，M为抛物线C准线上一点，则△ABM的面积为( A )A．16B．18C．24D．32解析：不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，如图，因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p＝8，p＝4，又M为抛物线C的准线上一点，所以点M到直线AB的距离即焦点到准线的距离，为4，所以△ABM的面积为×8×4＝16，故选A.
5．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( B )A.B．－C．±D．－解析：将y＝1代入y2＝4x，可得x＝，即A(，1)．由抛物线的光学性质可知，直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－.故选B.6．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点N在x轴上且在点F的右侧，线段FN的垂直平分线l与抛物线在第一象限的交点为M，直线MN的倾斜角为135°，O为坐标原点，则直线OM的斜率为( A )A．2－2B．2－1C.－1D．3－4解析：解法1：设点M(，m)(m>0)，因为点M在FN的垂直平分线上且点N在焦点F的右侧，所以N(，0)，又MN的倾斜角为135°，所以＝－1，解得m＝(＋1)p，所以点M(p，(＋1)p)，所以直线OM的斜率为＝2－2，故选A.解法2：如图，设直线L为抛物线的准线，过点M向准线引垂线，垂足为A，交y轴于点B，设|MF|＝t，因为点M在FN的垂直平分线上，且直线MN的倾斜角为135°，所以直线MF的倾斜角为45°，由抛物线的定义得t＝|MA|＝p＋t，即t＝＝(2＋)p，所以|OB|＝t＝(＋1)p，|BM|＝t－＝，设直线OM的倾斜角为θ，则∠OMB＝θ
，所以直线OM的斜率为tanθ＝＝＝2－2，故选A.7．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( B )A．y2＝xB．y2＝3xC．y2＝xD．y2＝9x解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＝3＋3a，从而得a＝1，因为BD∥FG，所以＝.即＝，解得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x.二、填空题8．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为2.
解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故＝，解得xP＝1，所以y＝4，所以|yP|＝2.9．抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P(在第一象限内)作l的垂线PQ，垂足为Q.若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为(4,4)．解析：设P(x，y)，其中x>0，y>0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y，则⇒或(舍去)．所以点P的坐标为(4,4)．10．已知抛物线y2＝4x与直线2x－y－3＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则＋的值为.解析：设A(，y1)，B(，y2)，易知y1y2≠0，则k1＝，k2＝，所以＋＝，将x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝.三、解答题11．过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，∴直线l的方程为y＝±(x－1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，又E(－1,0)，∴kEB－kED＝－＝，
y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y2(＋1)＋y1(＋1)＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2)(＋1)．由(1)知x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，又y1与y2异号，∴y1y2＝－4，即＋1＝0，∴kEB＝kED，又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线．12．已知F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝( A )A．16B．4C.D.解析：解法1：因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|＝|CF|＝，所以＝.由抛物线的定义得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD.由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16.故选A.解法2：同解法1得＝.过A，D作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，D1，该直线AF交准线于点E，准线交x轴于点N，则由FN∥AA1得＝，由直线AF的斜率为得tan∠A1AF＝，故＝.又|AA1|＝|AF|，故＝＝，所以|AF|＝|AA1|＝|NF|＝p.
同理可得＝，又|DD1|＝|DF|，所以＝，故|DF|＝|DD1|＝|NF|＝p，故＝＝＝16.故选A.13．如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝10.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.14．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求证：y1y2为定值；(2)是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由．解：(1)证法1：当直线AB垂直于x轴时，不妨取y1＝2，y2＝－2，所以y1y2＝－8(定值)．当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，由得ky2－4y－8k＝0，所以y1y2＝－8.综上可得，y1y2＝－8为定值．证法2：设直线AB的方程为my＝x－2.由得y2－4my－8＝0，所以y1y2＝－8.因此有y1y2＝－8为定值．(2)存在．理由如下：设存在直线l：x＝a满足条件，则AC的中点E(，)，|AC|＝，因此以AC为直径的圆的半径r＝|AC|＝＝，点E到直线x＝a的距离d＝|－a|，所以所截弦长为2
＝2＝＝，当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x＝1.15．已知圆C：(x－5)2＋(y－)2＝8，抛物线E：x2＝2py(p>0)上两点A(－2，y1)与B(4，y2)，若存在与直线AB平行的一条直线和C与E都相切，则E的准线方程为( C )A．x＝－B．y＝－1C．y＝－D．x＝－1解析：由题意知，A(－2，)，B(4，)，∴kAB＝＝，设抛物线E上的切点为(x0，y0)，由y＝，得y′＝，∴＝，∴x0＝1，∴切点为(1，)，∴切线方程为y－＝(x－1)，即2x－2py－1＝0，∵切线2x－2py－1＝0与圆C相切，∴圆心C(5，)到切线的距离为2，即＝2，∴31p2＋18p－49＝0，∴(p－1)(31p＋49)＝0，∵p>0，∴p＝1.∴抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－，故选C.
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