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课时作业17 导数与函数的零点问题1．已知f(x)＝ax2－(b＋1)xlnx－b，曲线y＝f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程为2x＋y＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)研究函数f(x)在区间(0，e4]内的零点的个数．解：(1)由题知得∴f(x)＝x2－(e＋1)xlnx－e.(2)x2－(e＋1)xlnx－e＝0⇒x－(e＋1)lnx－＝0，x∈(0，e4]．设g(x)＝x－(e＋1)lnx－，x∈(0，e4]，则g′(x)＝1－＋＝.由g′(x)＝0得x1＝1，x2＝e，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，e)时，g′(x)0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e，e4]上单调递增．极大值g(1)＝1－e62＝36，∴g(e4)>0.综上，g(x)在(0，e4]内有唯一零点，因此，f(x)在(0，e4]内有唯一零点．2．已知函数f(x)＝lnx＋－，a∈R且a≠0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈[，e]时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．解：(1)f′(x)＝(x>0)，当a0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>，由f′(x)＝0)，由题意得f′(2)＝0，则2×23－2a－2＝0，a＝7，经验证，当a＝7时，f(x)在x＝2处取得极值，∴f(x)＝x2＋－7lnx，f′(x)＝2x－－，∴f′(1)＝－7，f(1)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝－7(x－1)，即7x＋y－10＝0.(2)令g(x)＝2x3－ax－2(x>0)，则g′(x)＝6x2－a，由a>0，g′(x)＝0，可得x＝，∴g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．由于g(0)＝－20，若x∈(，＋∞)，则f′(x)0，且f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，不妨设0，即m>e2＋时，方程无解；当m－e2＝，即m＝e2＋时，方程有一个解；当m－e2
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