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6.3.2二项式系数的性质课标要求素养要求1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.通过本节课的学习,进一步提升逻辑推理及数学运算素养. 新知探究同学们根据二项式定理写出(a+b)n(n=1,2,3,4,5,6)的二项式系数.可以写成如下形式: 这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示,在那本书里用汉字表示的,这个表称为“杨辉三角”.在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的,杨辉三角的发现比欧洲早500年左右,由此可见我国古代在数学方面的成就.问题 你能利用上述规律写出下一行的数值吗?提示根据规律下一行的数值分别是:172135352171. 二项式系数的性质在求二项式系数的最大值时,要注意讨论n的奇偶性. 拓展深化[微判断]1.二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).()提示二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的,二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项),但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关.2.二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.()提示在二项式(a+b)n中只有当a,b的系数都为1时,展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和.×× 3.二项展开式项的系数是先增后减的.()提示二项式系数是随n的增加先增后减的,二项展开式项的系数和a,b的系数有关.× 答案D 2.在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是()A.第6项B.第5项C.第5,6项D.第6,7项解析由题意,得第4项与第8项的系数相等,则其二项式系数也相等, 3.若(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8=________.[微思考]怎样求二项式系数和? 题型一二项式定理的应用【例1】(1)试求199510除以8的余数;(2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.(1)解199510=(8×249+3)10.∵其展开式中除末项为310外,其余的各项均含有8这个因数,∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同.又∵310=95=(8+1)5,其展开式中除末项为1外,其余的各项均含有8这个因数,∴310除以8的余数为1,即199510除以8的余数也为1. (2)证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9 显然括号内的数为正整数,故原式能被31整除. 题型二 二项展开式的系数的和问题【例2】已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,求a0+a1+a2+a3+a4+a5.解令x=1,得:(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. 【迁移1】(变换所求)例2条件不变,求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|.解∵(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,得:[2×(-1)-1]5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5,即a0-a1+a2-a3+a4-a5=-(-3)5=35,∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=35=243. 【迁移2】(变换所求)例2条件不变,求a1+a3+a5的值. 【训练2】已知(1-3x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8.求:(1)a0+a1+…+a8;(2)a0+a2+a4+a6+a8;(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|.解(1)令x=1,得a0+a1+…+a8=(-2)8=256.①(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8=48.②①+②,得2(a0+a2+a4+a6+a8)=28+48, 故a0,a2,a4,a6,a8>0,a1,a3,a5,a7<0,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8=48=65536. 解令x=1,则展开式中各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知,4n-2n=992.∴(2n)2-2n-992=0,∴(2n+31)(2n-32)=0,∴2n=-31(舍去)或2n=32,∴n=5. 【训练3】求出(x-y)11的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和;(5)各项系数的和. 解(1)二项式系数最大的项为中间两项: (3)由(2)知中间两项系数绝对值相等, 一、素养落地1.通过本节课的学习,进一步提升逻辑推理素养、数学运算素养.2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或-1,但在解决具体问题时要灵活掌握.3.注意以下两点:(1)区分开二项式系数与项的系数.(2)求解有关系数最大时的不等式组时,注意其中k∈{0,1,2,…,n}. 二、素养训练1.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是()A.n,n+1B.n-1,nC.n+1,n+2D.n+2,n+3 2.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为()A.-2B.-1C.1D.2解析令x=-1,则原式化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=a0+a1(2-1)+a2(2-1)2+…+a11(2-1)11,∴a0+a1+a2+…+a11=-2.答案A 3.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6的展开式中,x2的系数为__________.答案35 解设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B.则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….由已知可知:B-A=38.令x=-1,得:a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即:(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…) =(-3)n.即:B-A=(-3)n.∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.由二项式系数性质可得: 查看更多

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