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7.2 离散型随机变量及其分布列第一课时 离散型随机变量课标要求素养要求1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性.通过研究离散型随机变量的概念，提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环，……，命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X即为随机变量．问题 上述情景中，随机变量X的取值情况如何？提示 随机变量X的结果可由0，1，……，10共11个数来表示．1．随机变量随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．2．离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
3.随机变量和函数的关系随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．拓展深化[微判断]1．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限可列个．(√)2．离散型随机变量的取值是任意的实数．(×)提示 取值是有限个或可以一一列举的随机变量才是离散型随机变量．3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(×)提示 离散型随机变量一定是某个区间内有限个或可以一一列举的值．[微训练]1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回地条件下每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )A．1，2，…，6B．1，2，…，7C．1，2，…，11D．1，2，3，…解析 可能第一次就取到白球，也可能把6个红球都取完后，才取得白球，故X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.答案 B2．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__________．解析 当答对3道题时，X＝300；当答对2道题时，X＝100；当答对1道题时，X＝－100；当答对0道题时，X＝－300.答案 300,100,－100,－300[微思考]1．随机变量是自变量吗？提示 不是．它是随试验结果变化而变化的，不是主动变化的．2．离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
提示 不一定．离散型随机变量的取值可以一一列举出来，所取值可以是有限个，也可以是无限个．
题型一 随机变量的概念【例1】 判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；(2)抛两枚骰子，出现的点数之和；(3)体积为8cm3的正方体的棱长．解 (1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量．(2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种情况，出现哪种情况都是随机的，因此是随机变量．(3)正方体的棱长为定值，不是随机变量.规律方法 解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．【训练1】 指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(3)某个人的属相随年龄的变化．解 (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．题型二 离散型随机变量的判断【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；
(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．解 (1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．规律方法 判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果．(2)将随机试验的结果数量化．(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【训练2】 下列随机变量是离散型随机变量的个数是( )①掷一枚骰子出现的点数；②投篮一次的结果；③某同学在12：00至12：30到校的时间；④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数．A．1B．2C．3D．4解析 ①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来．②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来．③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，故只有①②④满足．答案 C题型三 用随机变量表示事件的结果【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数．(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
解 (1)设所需的取球次数为X,则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11.(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X＝3，4，5，…，11.X＝3,表示“取出标有1，2的两张卡片”；X＝4,表示“取出标有1，3的两张卡片”；X＝5,表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；X＝6,表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”；X＝7,表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”；X＝8,表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”；X＝9,表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”；X＝10,表示“取出标有4，6的两张卡片”；X＝11,表示“取出标有5，6的两张卡片”．【迁移1】 (变条件)若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y,请问Y有哪些取值？其中Y＝4表示什么含义？解 Y的所有可能取值有：1，2，3，4，5.Y＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”．【迁移2】 (变条件，变问法)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解 根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7.X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．规律方法 解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．【训练3】 (多空题)
一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以X表示取出的篮球的最大号码，则X所有可能的取值为__________，其中X＝4表示的试验结果有__________种．解析 根据题意可知X的可能取值为3，4，5，6，其中当X＝4时，表示取得的一球编号为4，另两个球从1，2，3中选取，有C＝3(种)．答案 3，4，5，6 3一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养．2．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．3．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．二、素养训练1．下列叙述中，是离散型随机变量的为( )A．将一枚均匀硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有2个黑球6个红球，任取2个，取得一个红球的可能性解析 选项A，掷硬币不是正面向上就是反面向上，次数之和为5，是常量；选项B，是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量；选项D，事件发生的可能性不是随机变量．故选C.答案 C2．掷均匀硬币一次，随机变量为( )A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和解析 掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量，设为X，
X的取值是0，1.A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.答案 B3．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析 对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．答案 C4.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为X，那么“X＝4”表示的随机试验的结果是( )A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点或者1枚是3点，另1枚是1点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点，或者1枚是3点，另一枚是1点解析 抛掷2枚骰子，设其中1枚是x点，另1枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6.而X＝x＋y，故X＝4⇔或或答案 D5．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________(填序号)．①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X；②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；④虎门大桥一天经过的车辆数X.解析 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X
可以取某一区间内的一切值，但无法按一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量，故填②.答案 ②基础达标一、选择题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②解答高考数学卷Ⅰ的时间是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析 由随机变量的概念可以直接判断①②③④都是正确的．答案 D2．将一个骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数之和为7的概率解析 将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．同理，两次掷出的最大点数、第一次与第二次掷出的点数之差也都是随机变量，而两次掷出的点数之和为7的概率是一个定值．答案 D3．下面给出三个随机变量：①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数X；②某森林树木的高度在(0，50](单位：m)这一范围内变化，测得某一树木的高度X；
③某人射击一次击中的环数．其中离散型随机变量有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析 由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的，故均为离散型随机变量，而②中的随机变量可以取(0，50]内的任意值，无法一一列举，故它不是离散型随机变量．答案 C4．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的所有可能取值是( )A．1，2，…，5B．1，2，…，10C．2，3，…，10D．1，2，…，6解析 第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10.答案 C5．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为( )A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点解析 由“X≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5.答案 D二、填空题6．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为__________．
解析 甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次．答案 0，1，2，37．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为X，则“X
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