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第二课时 非线性回归模型及其应用课标要求素养要求1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.通过学习回归模型的应用，提升数学运算及数据分析素养.新知探究在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．问题 具有相关关系的两个变量的线性回归方程为＝x＋.预测值与真实值y一样吗？预测值与真实值y之间误差大了好还是小了好？提示 不一定；越小越好．1．残差的概念对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分
析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．2．刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．(2)残差平方和法残差平方和(yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．(3)利用R2刻画回归效果决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．拓展深化[微判断]1．残差平方和越接近0,线性回归模型的拟合效果越好．(√)2．在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．(×)提示 在画两个变量的散点图时，响应变量在y轴上，解释变量在x轴上．3．R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．(×)提示 R2越大，线性回归模型的拟合效果越好．[微训练]1．在残差分析中，残差图的纵坐标为__________．答案 残差2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：甲乙丙丁
R20.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？解 R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好．[微思考]在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？提示 (1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.题型一 线性回归分析【例1】 已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：x1416182022y1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．解 ＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，x＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以＝＝＝－1.15，＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.列出残差表：yi－i00.3－0.4－0.10.2yi－4.62.6－0.4－2.4－4.4所以(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，R2＝1－≈0.994，所以回归模型的拟合效果较好．规律方法 (1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．(2)刻画回归效果的三种方法①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．②残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．【训练1】 某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为解（1）由所给数据计算得＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，(ti－)2＝9+4+1+0+1+4+9=28,(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，＝=＝0.5，＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，所以所求回归方程为＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知＝0.5>0，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t＝10代入(1)中的回归方程，得＝0.5×10＋2.3＝7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．题型二 残差分析与相关指数的应用【例2】 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(3)计算各组残差，并计算残差平方和；(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度．解 (1)散点图如下．(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．设回归方程为＝x＋，又＝30.36，＝43.5，x＝5101.56，＝1320.66，2＝921.7296，xiyi＝6746.76.则＝≈0.29，＝－≈34.70.故所求的回归直线方程为＝0.29x＋34.70.当x＝56.7时，＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.故估计成熟期有效穗为51.143.(3)由i＝xi＋，可以算得i＝yi－i分别为1＝0.35，2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，残差平方和：≈8.43.
(4)(yi－)2＝50.18，故R2≈1－≈0.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.规律方法 (1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差1，2，…，n来判断模型拟合的效果．(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．【训练2】 为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散点图并求回归直线方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；(3)进行残差分析．解 (1)散点图如图所示．样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．由表中数据，得＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，x＝2275，xiyi＝1076.2.计算得≈0.183，≈6.285.
故所求回归直线方程为＝6.285＋0.183x.(2)列表如下：yi－i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313可得(yi－i)2≈0.01318,(yi－)2≈14.6783.所以R2＝1－≈0.9991，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．题型三 非线性回归分析【例3】 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(xi－)2(wi－)2(xi－)·(yi－)(wi－)·(yi－)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝，＝wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y
关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．由于＝＝＝68，＝－＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6(t)，年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．②根据(2)的结果知，年利润z的预报值＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．规律方法 求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．【训练3】 下表为收集到的一组数据：x21232527293235y711212466115325(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．解 (1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得lny＝lnc1＋c2x，令z＝lny，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为x21232527293235
z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得回归直线方程为＝0.272x－3.849，∴＝e0.272x－3.849.残差yi711212466115325i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325i0.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1131.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．二、素养训练1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cosθ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.答案 D
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是( )A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小解析 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.答案 ABD3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回归直线方程＝x＋中的＝－5，据此模型预测当零售价为14.5元时，每天的销售量为( )A．51个B．50个C．54个D．48个解析 由题意知＝17.5，＝39，代入回归直线方程得＝126.5，126.5－14.5×5＝54，故选C.答案 C4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：温度x010205070溶解度y66.776.085.0112.3128.0由此得到回归直线的斜率是__________．解析 ＝(0＋10＋20＋50＋70)＝30，＝(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，
由公式＝可得≈0.8809.答案 0.88095．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x之间的回归方程．解 由数值表可作散点图如图，根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，设＝，令t＝，则＝kt，原数据变为：t4210.50.25y1612521由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：Itiyitiyit1416641622122443155140.5210.25
50.2510.250.0625∑7.753694.2521.3125所以＝1.55，＝7.2.所以＝≈4.1344，＝－≈0.8.所以＝4.1344t＋0.8.所以y与x之间的回归方程是＝＋0.8.
基础达标一、选择题1．已知某地财政收入x与支出y满足回归方程＝x＋＋ei(单位：亿元)(i＝1，2，…)，其中＝0.8，＝2，|ei|
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