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第七章章末测试一、单选题(每题只有一个选项为正确答案,每题5分,8题共40分)1.(2021·吉林长春市)长春气象台统计,7月15日净月区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,设事件为下雨,事件为刮风,那么()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意,可知,利用条件概率的计算公式,可得,故选B.2.(2020·全国高二单元测试)现在有张奖券,张元的,张元的,某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为()A.B.C.D.【答案】B【解析】当取三张都是两元的得奖金额是元;当取两张两元一张五元得奖金额是元;当取一张两元两张五元得奖金额是元.故得奖金额为,对应的概率分别是,故其数学期望是,应选B.3.(2021·黑龙江鹤岗市·)一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为,则()A.,B.,C.,D.,【答案】B【解析】可能的取值为;可能的取值为, ,,,故,.,,故,,故,.故选B.4.(2021·浙江绍兴市)设,若随机变量的分布列如下:02Pa则下列方差值中最大的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,,,,,.,,.其中最大.故选:C.5.(2020·全国高二课时练习)已知离散型随机变量的概率分布如下,则其数学期望()1350.50.2A.1B.0.6C.2.44D.2.4 【答案】D【解析】∵分布列中所有的概率之和等于1,,∴随机变量的数学期望.故选:D.6.(2020·广东云浮市·高二期末)某小区有1000户居民,各户每月的用电量(单位:度)近似服从正态分布,则用电量在210度以上的居民户数约为()(参考数据:若随机变量服从正态分布,则,,)A.17B.23C.90D.159【答案】D【解析】由题得,,所以,所以,所以用电量在210度以上的居民户数为.7.(2020·全国高二)已知,,则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】由,可得.故选:C.8.(2020·湖北随州市·高二期末)某校有1000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布,试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于或等于120分)的人数占总人数的,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A.100B.200C.300D.400【答案】D【解析】由正态分布的特点知,正态密度曲线对称轴为,所以, 因为,所以,由对称性知:,所以考试成绩在90分到105分之间的人数约为,故选:D一、多选题(每题有多个选项为正确答案,每题5分,4题共20分)9.(2020·辽宁沈阳市·高三月考)下列说法中正确的是()A.设随机变量X服从二项分布,则B.已知随机变量X服从正态分布且,则C.;D.已知随机变量满足,,若,则随着x的增大而减小,随着x的增大而增大【答案】ABD【解析】对于选项设随机变量,则,所以选项A正确;对于选项因为随机变量,所以正态曲线的对称轴是,因为,所以,所以,所以选项B正确;对于选项,,故选项C不正确;对于选项由题意可知,, ,由一次函数和二次函数的性质知,当时,随着x的增大而减小,随着x的增大而增大,故选项D正确.故选:ABD.10.(2020·全国高二单元测试)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列4个结论,其中正确的有()A.从中任取3球,恰有一个白球的概率是B.从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为C.现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为D.从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为【答案】ABD【解析】A.恰有一个白球的概率,故A正确;B.每次任取一球,取到红球次数X~B,其方差为,故B正确;C.设A={第一次取到红球},B={第二次取到红球}.则P(A)=,P(A∩B)=,所以P(B|A)=,故C错误;D.每次取到红球的概率P=,所以至少有一次取到红球的概率为,故D正确.故选:ABD.11.(2020·福建高三其他模拟)一盒中有8个乒乓球,其中6个未使用过,2个已使用过.现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是()A.X的所有可能取值是3,4,5B.X最有可能的取值是5C.X等于3的概率为D.X的数学期望是 【答案】ACD【解析】记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,任取3个球的所有可能是:1A2B,2A1B,3A;A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5;,,又X最有可能的取值是4,.故选:ACD.12.(2020·湖北荆州市·)已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试,现把这次考试的分数转换为标准分,标准分的分数转换区间为,若使标准分X服从正态分布N,则下列说法正确的有().参考数据:①;②;③A.这次考试标准分超过180分的约有450人B.这次考试标准分在内的人数约为997C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为D.【答案】BC【解析】选项A;因为正态分布曲线关于对称,所以这次考试标准分超过180分的约有人,故本说法不正确;选项B:由正态分布N,可知:,所以, 因此这次考试标准分在内的人数约为人,故本说法正确;选项C:因为正态分布曲线关于对称,所以某个人标准分超过180分的概率为,因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为,故本说法正确;选项D:由题中所给的公式可知:,,所以由正态分布的性质可知:所以本说法不正确.故选:BC三、填空题(每5分,4题共20分,双空题第一空2分,第二空3分)13.(2021·天津静海区·静海一中)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设拿出黄球的个数为,则_______;______.【答案】1【解析】随机变量,对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球,第二次拿红球,所以,对应事件为第一次拿黄球,第二次拿红球,或第一次拿黄球,第二次拿绿球,第三次拿红球,或第一次拿绿球,第二次拿黄球,第三次拿红球,故,故,所以.故答案为:.14.(2021·江苏苏州市)在“学习强国”APP中,“争上游” 的答题规则为:首局胜利得3分,第二局胜利得2分,失败均得1分.如果甲每局胜利的概率为,且答题相互独立,那么甲作答两局的得分期望为______.【答案】【解析】根据题意,该人参加两局答题活动得分为,则可取的值为2,3,4,5,若,即该人两局都失败了,则,若,即该人第一局失败了,而第二局胜利,则,若,即该人第一局胜利,而第二局失败,则,若,即该人两局都胜利了,则,故,故答案为:.15.(2020·江苏省镇江第一中学高二期末)2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果均属于芯片领域,分别为华为高性能服务器芯片"鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI芯片“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”:现有1名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选3项进行了解,在其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”的条件下,选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为___.【答案】【解析】根据题意,15项“世界互联网领先科技成果”中,其中5项为芯片领域,10片为非芯片领域,其中“鲲鹏920”也属于芯片领域,设选出的3项中,其中1项选择华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”为事件,则共有种情况,即,设在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下,选出的3项中至少有2项属于芯片领域为事件,则共有种情况,即,所以在已选出1项为“鲲鹏920”的条件下,选出的3项中至少有2项属于芯片领域的概率为:. 故答案为:.16.(2020·全国高三专题练习)已知X的分布列如图所示,则(1),(2),(3),其中正确的个数为________.X-101P0.20.3a【答案】1【解析】由分布列的性质,可得,即,所以,,综上可得(1)正确,(2)(3)错误,所以正确的个数是1.故答案为:1.四、解答题(17题10分,其余每题12分,共70分)17.(2020·全国)为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘制成折线图如下: (1)已知该校有400名学生,试估计全校学生中,每天学习不足4小时的人数;(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人,设选取的男生人数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X);(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间的方差的大小.(只需写出结论)【答案】(1)240人;(2)分布列见解析,2;(3).【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人,其中男生中学习时间不足4小时的有8人,女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×=240.(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=. X01234P所以随机变量X的分布列为∴均值E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2.(3)由折线图可得.18.(2021·江西景德镇市)为了解某市2021届高三学生备考情况,教研所计划在2020年11月、2021年1月和2021年4月分别进行三次质量检测考试,第一次质量检测考试(一检)结束后,教研所分析数据,将其中所有参加考试的理科生成绩数据绘制成了扇形统计图,分数在之间的理科学生成绩绘制成频率分布直方图,已知参加考试的理科生有12000人.(1)如果按照上届高三理科生60%的二本率来估计一检的模拟二本线,请问一检考试的模拟二本线应该是多少;(2)若甲同学每次质量检测考试,物理、化学、生物及格的概率分别为,,,请问甲同学参加三次质量检测考试,物理、化学、生物三科中至少2科及格的次数分布列及期望.【答案】(1)458;(2)答案见解析.【解析】(1)分以上的频率为:, 要达到60%的二本率,所以,之间频率为:因为的频率总和为所以模拟二本线应在之间,设为则解得:;(2)至少2科及格的概率,,,1,2,30123.19.(2021·湖北宜昌市)某校高一年级组织“知识竞答”活动.每位参赛者第一关需回答三个问题,第一个问题回答正确得10分,回答错误得0分;第二个问题回答正确得20分,回答错误得分;第三个问题回答正确得30分,回答错误得分.规定,每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功.若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率是,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率;(2)求这位参赛者回答这三个问题的总得分的分布列和期望;(3)求这位参赛者闯关成功的概率.【答案】(1);(2)分布列见解析,;(3).【解析】(1)设事件这位参赛者回答对第i个问题,∴(2) ,,,,,,,,∴的分布列为:01020305060.(3)由(2)得这位参赛者闯关成功的概率为.20.(2021·江西赣州市))一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球,其中白色球与黄色球各3个,红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛,摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分,以得分高获胜.比赛规则如下:①只能一个人摸球;②摸出的球不放回;③摸球的人先从袋中摸出1球;若摸出的是绿色球,则再从袋子里摸出2个球;若摸出的不是绿色球,则再从袋子里摸出3个球,他的得分为两次摸出的球的记分之和;④剩下的球归对方,得分为剩下的球的记分之和.(1)若甲第一次摸出了绿色球,求甲的得分不低于乙的得分的概率;(2)如果乙先摸出了红色球,求乙得分的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)分布列见解析,.【解析】(1)记“甲第一次摸出了绿色球,甲的得分不低于乙的得分”为事件,因为球的总分为16,即事件指的是甲的得分大于等于8则(2)如果乙第一次摸出红球,则可以再从袋子里摸出3个小球,则得分情况有:6分、7分、8分、9分、10分、11分等 所以的分布列为:67891011所以的数学期望.21.(2021·湖北黄冈市·高二期末)在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中,大赛分预赛与复赛两个环节.预赛有4000人参赛.先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图: (1)若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少1人成绩不低于80分的概率;(2)由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z服从正态分布,其中可以近似为100名学生的预赛平均成绩,,试估计全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数;(3)预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛.复赛规则如下:①每人复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量,每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格,规定回答第题时扣掉分;③每答对一题加2分,答错既不加分也不扣分;④答完n题后参赛学生的最后分数即为复赛分数.已知学生甲答对每题的概率为0.75,且各题答对与否相互独立,若甲期望得到最佳复赛成绩,则他的答题数量n应为多少?(参考数据,若,则,,).【答案】(1),(2),(3)若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量应该是7.【解析】(1)样本成绩不低于60分的学生有人其中成绩不低于80分的有人则至少有1人成绩不低于80分的概率(2)由题意知样本中100名学生成绩平均分为,所以,,所以所以,则故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为人(3)以随机变量表示甲答对的题数,则,且,记甲答完题所加的分数为随机变量,则,,依题意为了获取答题的资格,甲需要扣掉的分数为:,设甲答完题的分数为, 则,由于,当时,取最大值,即复赛成绩的最大值为.若学生甲期望获得最佳复赛成绩,则他的答题量应该是7.22.(2021·全国)共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活,也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现,由于两种产品中共享电动车速度更快,故更受消费者欢迎,一般使用共享电动车的概率为,使用共享单车的概率为.该公司为了促进大家消费,使用共享电动车一次记2分,使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立,市民之间选择意愿也相互独立.(1)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人,记总得分为随机变量,求的分布列和数学期望;(2)记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为分的概率为(比如:表示累计得分为1分的概率,表示累计得分为2分的概率,),试探求与之间的关系,并求数列的通项公式.【答案】(1)分布列答案见解析,数学期望:;(2),.【解析】(1)由题意,从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人,则总得分为随机变量的可能取值为,则,,,,所以的分布列为3456所以数学期望.(2)已调查过的累计得分恰为分的概率为,得不到分的情况只有先得分, 再得2分,概率为,其中.因为,即,所以,则是首项为,公比为的等比数列,所以,所以. 查看更多

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