资料简介
6.3二项式定理(精讲)思维导图
常见考法
考法一二项式定理展开式【例1】(1)求的展开式为.(2)(2020·江苏省太湖高级中学高二期中)已知,则的值为【答案】(1)++54+108x+81x2【解析】(1)方法一 4=(3)4+C(3)3·+C(3)22+C(3)3+C4=81x2+108x+54++.方法二 4=4=(1+3x)4=·[1+C·3x+C(3x)2+C(3x)3+C(3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2.(2)由得则
,即,解得.【一隅三反】1.(2021·全国课时练习)化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( )A.(2x+2)5B.2x5C.(2x-1)5D.32x5【答案】D【解析】依题意可知,多项式的每一项都可看作,故为的展开式,化简.故选D.2.(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中)化简:_________.【答案】【解析】则所以故答案为:.考法二二项式指定项的系数与二项式系数【例2】(1)(2020·全国高二单元测试)在(x-)10的展开式中,x6的系数是(2)(2020·广东佛山市·高二期末)二项式的展开式中常数项是______(用数字作答)(3)(2020·安徽省蚌埠第三中学高二月考)的有理项共有项【答案】(1)9(2)70(3)6【解析】(1)由Tk+1=x10-k(-)k,令10-k=6,解得k=4,∴系数为(-)4=9(2)二项式的展开式的通项公式,令,得,则常数项为,故答案为:70
(3)的通项公式为:,,,,所以有理项共有6项,故选:C【一隅三反】1.(2020·北京市鲁迅中学高二月考)二项式的展开式中的常数项是_______.(用数字作答)【答案】60【解析】有题意可得,二项式展开式的通项为:令可得,此时.2.(2021·上海青浦区)在二项展开式中,常数项是_______.【答案】60【解析】展开式的通项公式是,当时,.故答案为603..(2020·青海西宁市)若的展开式中的系数为7,则实数=______.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式可得:,令,可得,,解得:,故答案为:4.(2020·梁河县)已知的展开式的常数项是第7项,则________.【答案】8
【解析】根据题意,可知第7项为,而常数项是第7项,则,故.故答案为:8.考法三多项式系数或二项式系数【例3】(1)(2020·福建三明市·高二期末)的展开式中常数项是()A.-252B.-220C.220D.252(2).(2021·四川成都市)若的展开式中常数项为,则()A.B.C.D.【答案】(1)A(2)C【解析】(1)由,可得二项式的展开式通项为,令,解得,所以展开式的常数项为.故选:A.(2)的展开式的通项公式为:,显然,为奇数,若求展开式的常数项,,解得故的展开式的常数项等于:故选:C.【一隅三反】1.(2020·全国高三专题练习)展开式中常数项为().A.11B.C.8D.【答案】B【解析】将看成一个整体,展开得到:的展开式为:取
当时,系数为:当时,系数为:常数项为故答案选B2.(2020·全国高三专题练习)的展开式中常数项为()A.B.C.D.【答案】C【解析】的通项为,,根据式子可知当或时有常数项,令;令;故所求常数项为,故选C.3.(2020·河南商丘市)的展开式的常数项为()A.6B.10C.15D.16【答案】D【解析】由题意得的展开式的通项为,令,则,所以的展开式的常数项为.故选:D.4.(2020·高二月考)在的展开式中,x2项的系数为()A.30B.45C.60D.90【答案】B【解析】在的展开式中,通项公式为Tr+1•.对于,通项公式为Tk+1•xr﹣2021k,k≤r,r、k∈N,r≤10.令r﹣2021k=2,可得r=2+2021k,故k=0,r=2,故x2项的系数为•45,故选:B.
5.(2020·全国高二专题练习)若的展开式中的系数为,则等于()A.B.C.1D.2【答案】D【解析】将题中所给式子可化为根据二项式定理展开式通项为,的通项为令解得所以的项为令解得所以的项为综上可知,的系数为解得故选:D考法四二项式定理的性质【例2】(1)(多选)(2020·全国高二单元测试)的展开式中二项式系数最大的项是()A.第5项B.第6项C.第7项D.第8项(2)(2020·山东省桓台第一中学高二期中)(多选)二项式的展开式中,系数最大的项为().A.第五项B.第六项C.第七项D.第八项(3)(2020·绵阳市·四川省绵阳高二开学考试)若的展开式中只有第项的二项式系数最大,则展开式中含项的系数是A.B.C.D.【答案】(1)BC(2)BC(3)D
【解析】(1)因为n=11为奇数,所以展开式中第项和第项,即第6项和第7项的二项式系数相等,且最大.故选:BC(2)二项式的展开式中,每项的系数与二项式系数相等,共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项故选:BC(3)∵的展开式中只有第项的二项式系数最大,∴为偶数,展开式共有项,则.的展开式的通项公式为,令,得.∴展开式中含项的系数是,故选D.【一隅三反】1.(2020·辽宁沈阳市·高二期中)在的二项展开式中,若只有第5项的二项式系数最大,则的二项展开式中的常数项为()A.960B.1120C.-560D.-960【答案】B【解析】在(x﹣1)n(n∈N+)的二项展开式中,若只有第5项的二项式系数最大,则n=8,则=的二项展开式的通项公式为Tr+1=•28﹣r•(﹣1)r•x4﹣r,令4﹣r=0,求得r=4,可得展开式中的常数项为•24•(﹣1)4=1120,故选B.2.(2021·湖南常德市)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()A.B.C.10D.20【答案】C【解析】由已知,当时,即,所以展开式中常数项为,故选.
3.(多选)(2020·三亚华侨学校高二开学考试)已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则n的值可以为()A.7B.8C.9D.10【答案】ABC【解析】∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n=8或n=9故选:ABC.4.(2020·全国高二课时练习)已知展开式中各项系数的和为m,且,求展开式中二项式系数最大的项的系数.【答案】59136【解析】设,令,得,所以,则展开式中有13项,且中间一项(第7项)的二项式系数最大,该项为.故所求的系数为59136.5.(2020·重庆市第七中学校高二月考)二项式的展开式中,二项式系数最大的项是第4项,则其展开式中的常数项是_________.【答案】-20【解析】由题意知,展开式中有7项,.因为令,得,所以常数项为.考法五二项式系数或系数和【例5】(2020·安徽省泗县)若.求:(1);
(2);(3).【答案】(1)27;(2)14;(3)27.【解析】(1)令,可得,∴.①(2)令可得,∴.②由①②得,∴.(3)由题意得二项式展开式的通项为,∴每项的系数,∴.【一隅三反】1.(2020·北京朝阳区·高二期末)在的二项展开式中,二项式系数之和为___________;所有项的系数之和为_______.【答案】【解析】根据二项展开式的性质,展开式的二项式系数之和为,令可得所有项的系数之和为,故答案为:,2.(2020·全国高二单元测试)若(-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=【答案】1【解析】令,得,令,得,
.故选:A.3.(2020·福建厦门市·高二期中)已知,则_____.【答案】【解析】对等式两边求导,得,令,则.4.(2020·宁县第二中学高二期中)设展开式中只有第1010项的二项式系数最大.(1)求n;(2)求;(3)求..【答案】(1)2018;(2);(3)-1.【解析】(1)由二项式系数的对称性,(2)(3)令,得,令,得,故.考法六二项式定理运用【例6】(1)(2020·上海市七宝中学高二期中)除以100的余数是________(2)(2020·全国高二单元测试)的计算结果精确到0.01的近似值是_________
【答案】(1)41(2)1.34【解析】(1)即除以100的余数为.故答案为:.(2)故答案为:【一隅三反】1.(2020·四川棠湖中学高二月考)已知能够被15整除,则________.【答案】14【解析】由题可知,所以,而75能被15整除,要使能够被15整除,只需能被15整除即可,所以,解得:.故答案为:14.2.(2020·江苏泰州市·高二期中)被除所得的余数是_____________.【答案】1【解析】因为,所以转化为求被除所得的余数,因为,所以被除所得的余数是1,故答案为:13.(2021·河北保定市)的计算结果精确到0.001的近似值是【答案】0.941【解析】故选B
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