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第六章计数原理(A卷基础卷)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2020春•河西区期中)一件工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这件工作,则不同的选法种数是( )A.9B.10C.20D.40【解答】解:利用第一种方法有:种,利用第二种方法有:种方法.、故共有:5+4=9种完成工作.故选:A.2.(2020春•和平区校级期末)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在第四位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A.16种B.18种C.24种D.36种【解答】解:由题意知,甲丙的位置固定,先排乙,再把剩余的节目全排列,故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有A31A33=18种.故选:B.3.(2020春•通州区期末)甲、乙等7人排成一排,甲在最中间,且与乙不相邻,那么不同的排法种数是( )A.96B.120C.360D.480【解答】解:从出甲乙之外的5人中选2人排在甲的两边并和甲相邻,剩下的全排即可,故有A52A44=480种,故选:D.4.(2020春•重庆期末)有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流,则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为( )A.216B.729C.540D.420【解答】解:根据题意,分2步进行计算:①先将6名医生分为3组,若分为1、1、4的三组,有C64=15种分组方法,若分为1、2、3的三组,有C63C32=60种分组方法,
若分为2、2、2的三组15种分组方法,则有15+60+15=90种分组方法;②将分好的三组对应三个医院,有A33=6种情况,则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为90×6=540种;故选:C.5.(2020•北京)在(2)5的展开式中,x2的系数为( )A.﹣5B.5C.﹣10D.10【解答】解:(2)5的展开式中,通项公式为Tr+1•(﹣2)r•,令2,求得r=1,可得x2的系数为•(﹣2)=﹣10,故选:C.6.(2020•济宁模拟)在的展开式中,常数项为( )A.B.C.D.【解答】解:因为(x)6的通项公式为:Tr+1•x6﹣r•()r=()r••x6﹣2r;6﹣2r=0时,r=3;6﹣2r=﹣1时,r不存在;∴的展开式中,常数项为:()3•3;故选:A.7.(2020春•天津期末)若(n∈N*)的展开式中常数项为第9项,则n的值为( )A.7B.8C.9D.10
【解答】解:∵(n∈N*)的展开式中的第9项T9•(﹣3)8•2n﹣8•x2n﹣20为常数项,故有2n﹣20=0,∴n=10,故选:D.8.(2020春•东城区期末)若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取3个不同的数,其和为奇数,则不同的取法共有( )A.36种B.40种C.44种D.48种【解答】解:根据题意,将9个数分为2组,一组为奇数:1、3、5、7、9,一组为偶数:2、4、6、8,若取出的3个数和为奇数,分2种情况讨论:①取出的3个数全部为奇数,有C53=10种情况,②取出的3个数有1个奇数,2个偶数,有C51C42=30种情况,则和为奇数的情况有10+30=40种.故选:B.二.多选题(共4小题)9.(2020春•东海县期中)下列各式中,等于n!的是( )A.AB.AC.nAD.m!C【解答】解:n!,A正确;(n+1)!,B错误;nn•(n﹣1)!=n!,C正确;m!m!•n!,D错误;故选:AC.10.(2020春•常州期中)若的展开式中第3项与第8项的系数相等,则展开式中二项式系数最大的项为( )A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项【解答】解:∵的展开式中第3项与第8项的系数相等,
∴;所以n=9,则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项;故选:CD.11.(2019春•日照期中)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中,不允许有空盒子的放法有多少种?下列结论正确的有( )A.CCCCB.CAC.CCAD.18【解答】解:根据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中,且没有空盒,则三个盒子中有1个中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个,有2种解法:(1)分2步进行分析:①、先将四个不同的小球分成3组,有C42种分组方法;②、将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有A33种放法;则没有空盒的放法有CA种;(2)分2步进行分析:①、在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有CC种情况②、将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有A22种放法;则没有空盒的放法有CCA22种;故选:BC.12.(2020春•宝应县期中)若(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…a10x10,x∈R,则( )A.a0=1B.a0=0C.a0+a1+a2+…+a10=310D.a0+a1+a2+…+a10=3【解答】解:因为(2x+1)10=a0+a1x+a2x2+…a10x10,x∈R,令x=0可得:a0=1;令x=1可得a0+a1+a2+…a10=310;故选:AC.三.填空题(共4小题)
13.(2020•上城区校级模拟)在二项式的展开式中,二项式系数之和是 32 ,含x4的项的系数是 10 .【解答】解:在二项式的展开式中,二项式系数之和是25=32,通项公式为Tr+1•(﹣1)r•x10﹣3r,令10﹣3r=4,求得r=2,可得含x4的项的系数是10,故答案为:32;10.14.(2020•甘肃模拟)某班星期一共八节课(上午、下午各四节,其中下午最后两节为社团活动),排课要求为:语文、数学、外语、物理、化学、各排一节,从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻),则不同的排法有种 1344 .【解答】解:从生物、历史、地理、政治四科中选排一节,有4种方法,若数学排第一节,则英语可以排3,4,5,6节,其余全排列,此时有4×A,若数学排第二节,则英语可以排4,5,6节,其余全排列,此时有3×A,若数学排第三节,则英语可以排1,5,6节,其余全排列,此时有3×A,若数学排第四节,则英语可以排1,2,5,6节,其余全排列,此时有4×A,则共有4(4×A3×A3×A4×A)=4×14×A4×14×24=1344,故答案为:134415.(2020春•南郑区校级期中)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射“和“御“两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有 120 种.【解答】解:根据题意,“数”必须排在前三节,据此分3种情况讨论:①“数”排在第一节,“射“和“御“两门课程联排的情况有4×A22=8种,剩下的三门课程有A33=6种情况,此时有8×6=48种排课顺序;②“数”排在第二节,“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22=6种,剩下的三门课程有A33=6种情况,此时有6×6=36种排课顺序;
③“数”排在第三节,“射“和“御“两门课程联排的情况有3×A22=6种,剩下的三门课程有A33=6种情况,此时有6×6=36种排课顺序;则有48+36+36=120种排课顺序;故答案为:12016.(2020春•西城区校级期中)设有编号为1,2,3,4,5的五把锁和对应的五把钥匙.现给这5把钥匙也分别贴上编为1,2,3,4,5的五个标签,则有 120 种不同的姑标签的方法;若想使这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁,则有 31 种不同的贴标签的方法.(用数字作答)【解答】解:根据题意,现给这5把钥匙也贴上编号为1,2,3,4,5的五个标签,则有A55=120种不同的贴标签的方法:若这5把钥匙中至少有2把能打开贴有相同标签的锁,分3种情况讨论:①5把都可以打开贴有相同标签的锁,即5个标签全部贴对,有1种贴标签的方法;②5把钥匙中有3把可以打开贴有相同标签的锁,即有3个标签贴对,有C53=10种贴标签的方法;③5把钥匙中有2把可以打开贴有相同标签的锁,即有2个标签贴对,有2C52=20种贴标签的方法;则一共有1+10+20=31种贴标签的方法;故答案为:120,31.四.解答题(共5小题)17.(2019春•武汉期中)现有5本书和3位同学,将书全部分给这三位同学.(1)若5本书完全相同,每个同学至少有一本书,共有多少种分法?(2)若5本书都不相同,共有多少种分法?(3)若5本书都不相同,每个同学至少有一本书,共有多少种分法?【解答】解:(1)根据题意,若5本书完全相同,将5本书排成一排,中间有4个空位可用,在4个空位中任选2个,插入挡板,有C42=6种情况,即有6种不同的分法;(2)根据题意,若5本书都不相同,每本书可以分给3人中任意1人,都有3种分法,则5本不同的书有3×3×3×3×3=35=243种;(3)根据题意,分2步进行分析:①将5本书分成3组,若分成1、1、3的三组,有C53=10种分组方法,
若分成1、2、2的三组,有15种分组方法,则有10+15=25种分组方法;②将分好的三组全排列,对应3名学生,有A33=6种情况,则有25×6=150种分法.18.(2019春•黄浦区校级期中)从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组,请解答下列问题:(1)如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人,共有多少种不同的建组方案?(用数字作答)(2)男医生甲要担任医疗小组组长,所以必选,而且医疗小组必须男女医生都有,共有多少种不同的建组方案?(3)男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.(化成最简分数)【解答】解:(1)根据条件可知有以下两种情况:①选两个男医生和三个女医生,有C•C15种建组方案;②选三个男医生和两个女医生,有C•C60种建组方案;故共有15+60=75种不同的建组方案.(2)男医生甲要担任医疗小组组长,所以必选,而且医疗小组必须男女医生都有,若选2男3女,甲必选,则还需要在5名男医生选1名,有5种建组方案;若选3男2女,甲必选,则还需要在5名男医生选2名,有30种建组方案;若选4男1女,甲必选,则还需要在5名男医生选3名,有30种建组方案;则共有5+30+30=65种组建方案.(3)6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组,有126种组建方法,若男医生甲与女医生乙被同时选中,则有35种方法,则男医生甲与女医生乙不被同时选中的方法有126﹣35=91种,则男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率P.19.(2020春•栖霞市月考)有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排;(2)排成前后两排,前排4人,后排3人;
(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻.【解答】解:(1)根据题意,有3名男生、4名女生,共7人,从中选出5人排成一排,有A75=2520种排法;(2)根据题意,前排4人,有A74种排法,后排3人,有A33种排法,则有A74×A33=5040种排法;(3)根据题意,甲不站排头也不站排尾,有5种情况,将剩下的6人全排列,有A66种排法,则有5×A66=3600种排法;(4)根据题意,将4名女生看成一个整体,有A44种排法,将这个整体与3名男生全排列,有A44种排法,则有A44×A44=576种排法;(5)根据题意,先排4名女生,有A44种排法,排好后有5个空位,在5个人空位中任选3个,安排3名男生,有A53种排法,则有A44×A53=1440种排法.20.(2019春•台州期末)已知(1+x)n的展开式中第4项和第8项的二项式系数相等.(Ⅰ)求n的值和这两项的二项式系数;(Ⅱ)在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)n+2的展开式中,求含x2项的系数(结果用数字表示).【解答】解:(Ⅰ)因为,所以n=10,所以120,故两项的二项式系数120.(Ⅱ)含x2项的系数为285,故答案为:285.21.(2020•南通模拟)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*).(1)当n=6时,求a0+a2+a4+a6的值;(2)化简:C22k.【解答】解:(1)当n=6时,令x=1,则(1+2)6=36=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6①,
令x=﹣1,则(1﹣2)6=1=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6②,①+②得,;(2)③,④,③+④得,,即.
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