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第七章随机变量及其分布（A卷基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•郑州期末）随机变量X的分布列如下：X﹣101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵随机变量X的分布列如下：X﹣101Pabc∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，②联立①②，得b，a+c，∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c．故选：D．2．（2019春•来宾期末）随机变量X～B（100，p），且EX＝20，则D（2X﹣1）＝（ ）A．64B．128C．256D．32【解答】解：由于X～B（100，p），且EX＝20，则100p＝20，得p＝0.2，D（X）＝100p（1﹣p）＝20×（1﹣0.2）＝16，D（2X﹣1）＝22D（X）＝64．故选：A．
3．（2020•柳州模拟）袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球，3个白球，从中不放回地依次随机摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在这两次摸球过程中，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到白球”．则n（A），，所以P（B|A）．故选：C．4．（2020•江西模拟）新冠肺炎病毒可以通过飞沫传染，佩戴口罩可以预防新冠肺炎病毒传染，已知A，B，C三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于A，B，C三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，记A，B，C三人中被感染的人数为X，则X的数学期望EX＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：由题意A，B，C三人与新冠肺炎病人甲近距离接触，由于A，B，C三人都佩戴了某种类型的口罩，若佩戴了该种类型的口罩，近距离接触病人被感染的概率为，所以，A，B，C三人中被感染的人数为X，满足，所以，故选：B．5．（2020•长春四模）田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比赛．在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8（每次试跳之间互不影响），则本次比赛他获得冠军的概率是（ ）A．0.832B．0.920C．0.960D．0.992【解答】解：每次试跳他能成功越过这个高度的概率为0.8，
则本次比赛他获得冠军的概率P＝0.8+0.2×0.8+0.22×0.8＝0.8+0.16+0.032＝0.992故选：D．6．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标ξ～N（15，0.0025），单位为g，该厂每天生产的质量在（14.9g，15.05g）的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为（ ）参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9973．A．158700B．22750C．2700D．1350【解答】解：由题意知，ξ～N（15，0.0025），即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；所以P（14.9＜ξ＜15.05）＝P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+σ）0.8186，所以该厂每天生产的口罩总量为818600÷0.8186＝1000000（件），又P（ξ＞15.15）＝P（ξ＞μ+3σ），所以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为10000001350（件）．故选：D．7．（2020•温州模拟）已知随机变量ξ的分布列如表：ξx1x2x3PP1P2P3其中x2﹣x1＝x3﹣x2＞0．若E（ξ）＞x2，则（ ）A．P1＞P2B．P2＜P3C．P2＞P3D．P1＜P3【解答】解：不妨设x1＝1，x2＝2，x3＝3，则E（ξ）＝P1+2P2+3P3＞2，∵P1+P2+P3＝1，∴P3＝1﹣P1﹣P2，∴P1+2P2+3（1﹣P1﹣P2）＞2，∴2P1+P2＜1，∴P1＜1﹣P1﹣P2，即P1＜P3．故选：D．
8．（2020•葫芦岛一模）从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：依次抽出2张（取后不放回），第一次抽到卡片是偶数的取法数：8；第一次是偶数，第二次是奇数的取法数：．故所求的概率为P．故选：C．二．多选题（共4小题）9．（2020春•亭湖区校级期中）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4D．【解答】解：随机变量X服从两点分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；
在D中，D（X），故D错误．故选：AB．10．（2020春•皇姑区校级期中）如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣分别为A，B，C，D，E．箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ）A．AB所在线路畅通的概率为B．ABC所在线路畅通的概率为C．DE所在线路畅通的概率为D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为【解答】解：由题意知，，，，，，所以A，B两个盒子畅通的概率为，因此A错误；D，E两个盒子并联后畅通的概率为，因此C错误；A，B，C三个盘子混联后畅通的概率为，B正确；根据上述分析可知，当开关合上时，电路畅通的概率为，D正确．故选：BD．
11．（2019秋•崂山区校级月考）已知随机变量X服从正态分布N（100，102），则下列选项正确的是（ ）（参考数值：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6826），P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）＝0.9974）A．E（X）＝100B．D（X）＝100C．P（X≥90）＝0.8413D．P（X≤120）＝0.9987【解答】解：∵随机变量X服从正太分布N（100，102），∴曲线关于x＝100对称，根据题意可得，P（90＜x＜110）＝0.6826，P（80＜x＜120）＝0.9544，∴P（x≥90）＝0.50.8413，故C正确；P（x≤120）＝0.5．，故D错误．而A，B都正确．故选：ABC．12．（2020•山东模拟）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ）A．目标恰好被命中一次的概率为B．目标恰好被命中两次的概率为C．目标被命中的概率为D．目标被命中的概率为1【解答】解：甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，在A中，目标恰好被命中一次的概率为P，故A错误；
在B中，由相互独立事件概率乘法公式得：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；在C中，目标被命中的概率为P＝1﹣（1）（1），故C错误；在D中，目标被命中的概率为P＝1﹣（1）（1），故D正确．故选：BD．三．填空题（共4小题）13．（2020•全国三模）随着国内疫情形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．【解答】解：设2个红球分别为A，B，3个白球分别为a，b，c，不放回地依次摸出2个球，基本事件总数有10个，分别为：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），第一次和第二次均摸到红球包含的基本事件只有（A，B），则顾客获得特等奖的概率是P．故答案为：．14．（2020•厦门模拟）排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为 ．【解答】解：排球比赛实行“五局三胜制”，某次比赛中，中国女排和M国女排相遇，统计以往数据可知，
每局比赛中国女排获胜的概率为，M国女排获胜的概率为，中国女排在先输一局的情况下最终获胜包含两种结果：①中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局连胜三局；②中国女排在先输一局的情况下，第二、三、四局两胜一负，第五局中国女排胜，则中国女排在先输一局的情况下最终获胜的概率为：P＝（）3．故答案为：．15．（2020春•桃城区校级月考）世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A、B、C就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大 0.915 ．【解答】解：设事件A，B，C为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D为小明被感染，则由已知得：p（A）＝0.5，p（B）＝0.3，p（C）＝0.2，p（D|A）＝0.95，p（D|B）＝0.90，p（D|C）＝0.85，则p（D）＝p（D|A）p（A）+p（D|B）p（B）+p（D|C）p（C）＝0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2＝0.915，故答案为：0.91516．（2020•吉林模拟）在人类与大自然的较量中，经常面对影响人类生存、反复无常的天气变化．人类对天气变化经历了漫长的认识过程，积累了丰富的气象经验，三国时期，孙刘联军运用气象观测经验，预报出会有一场大雾出现，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹．小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，那么小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为 0.384 【解答】解：小明计划8月份去上海游览，受台风“利马奇”的影响，上海市8月份一天中发生雷雨天气的概率上升为0.8，则小明在上海游览的3天中，只有1天不发生雷雨天气的概率约为：
P0.384．故答案为：0.384．四．解答题（共5小题）17．（2020春•南阳期中）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．【解答】解：（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的基本事件数为5种，故．（2）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则，由（1）知，故．（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C，则，“女生乙被选中”为事件B，，故．18．（2019春•抚顺期末）唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学习刻苦，都能通过“罗”这道工序；若这三道工序之间通过与否没有影响，（Ⅰ）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率；（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X的分布列．【解答】解：（I）设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”，则所求概率0.5×（1﹣0.6）×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×0.6×（1﹣0.5）+（1﹣0.5）×（1﹣0.6）×0.5＝0.35（Ⅱ）甲制成饼茶的概率为P甲＝0.5×0.8＝0.4，同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.5×0.4＝0.2．
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（1﹣0.4）×（1﹣0.3）×（1﹣0.2）＝0.336，P（X＝1）＝0.4×（1﹣0.3）×（1﹣0.2）+（1﹣0.4）×（1﹣0.3）×0.2+（1﹣0.4）×0.3×（1﹣0.2）＝0.452，P（X＝2）＝0.4×0.3×（1﹣0.2）+0.4×（1﹣0.3）×0.2+（1﹣0.4）×0.3×0.2＝0.188，P（X＝3）＝0.4×0.3×0.2＝0.024．故X的分布列为X0123P0.3360.4520.1880.02419．（2019秋•密云区期末）甲、乙两位运动员一起参加赛前培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：8685798684848591（Ⅰ）请你运用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）若用甲8次成绩中高于85分的频率估计概率，对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于85分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；（Ⅲ）现要从中选派一人参加正式比赛，依据所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位选手参加较为合适？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）画出的茎叶图如下所示，（Ⅱ）甲8次成绩中高于85分的有3次，用频率估计概率，∴甲的成绩高于85分的概率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），
P（ξ＝3）．∴ξ的分布列为ξ0123P数学期望E（ξ）．（Ⅲ）甲的成绩的平均数为，乙的成绩的平均数为，∴两位选手的成绩的平均数相等，但从茎叶图可知，乙的方差比甲的方差小，即乙选手的成绩更稳定，故选派乙选手参加较为合适．20．（2018秋•黔西县期末）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（I）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，该企业可获利润有哪几种可能，其利润及概率各为多少？【解答】解：（I）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，设事件B表示“乙组研发新新产品B研发成功”，则P（A），P（B），∴至少有一种新产品研发成功的概率：P＝1﹣P（）P（）＝1．（Ⅱ）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元，若新产品B
研发成功，预计企业可获利润100万元，该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220，P（X＝0）＝P（），P（X＝100）＝P（），P（X＝120）＝P（A），P（X＝220）＝P（AB）．21．（2020•香坊区校级二模）新型冠状病毒最近在全国蔓延，具有很强的人与人之间的传染性，该病毒在进入人体后一般有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间．假设每位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密切接触者，接触病毒携带者后被感染的概率为p，每位密切接触者不用再接触其他病毒携带者．（1）求一位病毒携带者一天内感染的人数X的均值；（2）若n＝3，时，从被感染的第一天算起，试计算某一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数（用数字作答）；（3）3月16日20时18分，由我国军事科学院军事科学研究院陈薇院士领衔的科学团队，研制重组新型冠状病毒疫苗获批进入临床状态，新疫苗的使用，可以极大减少感染新型冠状病毒的人数，为保证安全性和有效性，某科研团队抽取500支新冠疫苗，观测其中某项质量指标值，得到如图频率分布直方图：①求这500支该项质量指标值得样本平均值（同一组的数据用该组区代表间的中点值）；
②由直方图可以认为，新冠疫苗的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算可得这500支新冠疫苗该项指标值的样本方差s2＝150．现有5名志愿者参与临床试验，观测得出该项指标值分别为：206，178，195，160，229试问新冠疫苗的该项指标值是否正常，为什么？参考数据：，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9973．【解答】解：（1）依题意可知X～B（n，p），则E（X）＝np，故一天内被感染人数X的均值为np；（2）不妨记前m天平均累计感染的人数为am，则a1＝1，a2＝1+np，，…，．当n＝3，时，一位病毒携带者在14天潜伏期内，被他平均累计感染的人数为：a14；（3）①由频率分布直方图得，这500支该项指标值的样本平均值为：；②新冠肺炎该项指标值不正常，理由如下：由题意知Z～N（200，150），P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝P（163.4＜Z＜236.6）＝0.9973，即该项指标落在（163.4，236.6）之外的概率为0.0027，是小概率事件．而160∉（163.4，236.6），根据3σ原则，新冠肺炎的该项指标值不正常．
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