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第六章计数原理(B卷提高卷)参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2020•和平区校级二模)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数有(  )A.512B.192C.240D.108【解答】解:能被5整除的四位数末位是0或5的数,因此分两类第一类,末位为0时,其它三位从剩下的数中任意排3个即可,有60个,第二类,米位为5时,首位不能排0,则首位只能从1,3,4,5选1个,第二位和第三位从剩下的任选2个即可,有48个,根据分类计数原理得可以组成60+48=108个不同的能被5整除的四位数.故选:D.2.(2019•西湖区校级模拟)已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有(  )种A.19B.26C.7D.12【解答】解:顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,①当甲丙丁顾客都不选微信时,则甲有2种选择,当甲选择现金时,其余2人A22=2种,当甲选择支付宝时,丙丁可以都选银联卡,或者其中一人选择银联卡,另一人只能选支付宝或现金,故有1+C21C21=5,故有2+5=7种,②当甲丙丁顾客都不选支付宝时,则甲有2种选择,当甲选择现金时,其余2人A22=2种,当甲选择微信时,丙丁可以都选银联卡,或者其中一人选择银联卡,另一人只能选微信或现金,故有1+C21C21=5,故有2+5=7种,③当甲丙丁顾客都不选银联卡时,若有人使用现金,则C31A22=6种,若没有人使用现金,则有C32A22=6种,故有6+6=12种,根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种, 故选:B.3.(2019•河南模拟)某省示范高中将6名教师分配至3所农村学校支教,每所学校至少分配一名教师,其中甲必去A校,乙、丙两名教师不能分配在同一所学校的不同分配方法数为(  )A.36B.96C.114D.130【解答】解:甲去A校,再分配其他5个人,①如果都不去A校,则分配方法有A2×2×2=16种;②如果5人分成1,1,3三组,则分配方法有(CC)A42种;③如果5人分成1,2,2三组,则分配方法有(C)A72种;由加法原理可得不同分配方法有16+42+72=130种.故选:D.4.(2019春•越城区校级月考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子,每个格子染一种颜色,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为(  )A.15B.16C.18D.20【解答】解:依题意,第一个格子必须为黑色,设格子从左到右的编号分别为1~6.故①当1,3,5号格子为黑色时:有23=8种;②当1,3号为黑色且5号为白色时:若2号为黑色则有22=4种,若2号为白色,则4号为黑色有2种,故此时共有4+2=6种;③当1号为黑色,3号为白色时:2号必为黑色,若4号为白色,则有1×1×1×1××12=2种,若4号为黑色,则有1×1×1×1×2×2=4种,故此时共有2+4=6种;综上,共有8+6+6=20种.故选:D.5.(2019•西城区校级模拟)六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛,采取单循环赛制,即参加比赛的每两个人之间仅赛一局.第一天,A、B各参加了3局比赛,C、D各参加了4局比赛,E参加了2局比赛,且A与C没有比赛过,B与D也没有比赛过.那么F在第一天参加的比赛局数为(  )A.1B.2C.3D.4【解答】解:由于A、B各参加了3局比赛,C、D各参加了4局比赛,E参加了2局比赛,且A与C 没有比赛过,B与D也没有比赛过,所以与D赛过的是A、C、E、F四人;与C赛过的是B、D、E、F四人;又因为E只赛了两局,A与B各赛了3局,所以与A赛过的是D、B、F;而与B赛过的是A、C、F;所以F共赛了4局.故选:D.6.(2020春•五华区校级月考)的展开式中,常数项为(  )A.1B.3C.4D.13【解答】解:由于的表示4个因式(1)的乘积,故展开式中的常数项可能有以下几种情况:①所有的因式都取1;②有2个因式取,一个因式取1,一个因式取;故展开式中的常数项为113,故选:D.7.(2019•武汉模拟)已知(2)n(n≥2,n∈N),展开式中x的系数为f(n),则等于(  )A.B.C.D.【解答】解:∵(2)n(n≥2,n∈N),展开式中x的系数为f(n)•2n﹣2,∴则2 =22=2+4()=2+4(),故选:B.8.(2020春•武汉期中)习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时,首次提出“精准扶贫”概念,“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略.为配合国家“精准扶贫”战略,某省农业厅派出6名农业技术专家(4男2女)分成两组,到该省两个贫困县参加扶贫工作,若要求女专家不单独成组,且每组至多4人,则不同的选派方案共有(  )种A.48B.68C.38D.34【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:①分为3,3的两组时,不会出现两名女专家单独成组情况,有C63种分组方法,再对应到两个贫困县参加扶贫工作,有A22种情况,此时共有C63×A22=20种安排方式,②分为2,4的两组时,有C64×C22=15种分组方法,其中有1种两名女专家单独成组情况,则有14种符合条件的分组方法,再对应到两个贫困县参加扶贫工作,有A22种情况,此时共有14×A22=28种安排方式,共有20+28=48种安排方法;故选:A.二.多选题(共4小题)9.(2020春•常州期中)下列等式中,正确的是(  )A.B.C. D.【解答】解:∵AmAm(m2+1),A,等式不一定成立,∴A错;∵rCrnC,∴B对;∵CCCCCCC,∴C错.∵C•C,∴D对,故选:BD.10.(2020春•阳东区校级期中)若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8且a1+a2+…+a8=255,则实数m的值可以为(  )A.﹣3B.﹣1C.0D.1【解答】解:若(1+mx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则令x=0可得a0=1,令x=1,可得1+a1+a2+…+a8=(1+m)8=1+255=256,则实数m=1,或m=﹣3,故选:AD.11.(2020春•章丘区校级月考)关于(a﹣b)11的说法,正确的是(  )A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【解答】解:对于A:二项式系数之和为211=2048,故A正确;对于B、C:展开式共12项,中间第6、7项的二项式系数最大,故B错误,C正确;对于D:展开式中各项的系数为,k=0,1,……,11易知当k=5时,该项的系数最小.故D正确.故选:ACD. 12.(2020•泰安模拟)若(1﹣2x)2009=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2009x2009(x∈R),则(  )A.a0=1B.a1+a3+a5+…+a2009C.a0+a2+a4+…+a2008D.1【解答】解:由题意,当,当x=1时,,当x=﹣1时,,所以,,当所以.故选:ACD.三.填空题(共4小题)13.(2020•浙江模拟)地面上有并排的七个汽车位,现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库,当停车完毕后,恰有两个连续的空车位,且红、白两车互不相邻的情况有 336 种.【解答】解:根据题意,分2步进行分析:(1):首先把四辆车排列有种排法,再把两个连续的空车位捆绑与另一空车位往4辆车中插入有种方法,由乘法原理有种停法;(2):因为红、白两车相邻的情况有种.则符合要求的停车方法有336种.故停车完毕后,恰有两个连续的空车位,且红、白两车互不相邻的情况有336种. 故答案为:336.14.(2020春•沙坪坝区校级期中)A,B,C,D,E,F六名同学参加一项比赛,决出第一到第六的名次.A,B,C三人去询问比赛结果,裁判对A说:“你和B都不是第一名”;对B说:“你不是最差的”;对C说:“你比A,B的成绩都好”,据此回答分析:六人的名次有 180 种不同情况.【解答】解:根据题意,B不是第一名,也不是最后一名,则B可以为第二、三、四、五名,据此分4种情况讨论:①B为第二名,C必须为第一名,剩下4人,安排在第三、四、五、六名,有A44=24种情况,②B为第三名,若C为第一名,A有4种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有4×6=24种情况,若C为第二名,A有3种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有3×6=18种情况,此时有24+18=42种情况,③B为第四名,若C为第一名,A有4种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有4×6=24种情况,若C为第二名,A有3种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有3×6=18种情况,若C为第三名,A有2种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有2×6=12种情况,此时有24+18+12=54种情况,④B为第五名,若C为第一名,A有4种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有4×6=24种情况,若C为第二名,A有3种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有3×6=18种情况,若C为第三名,A有2种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有2×6=12种情况,若C为第四名,A有1种情况,剩下3人有A33=6种情况,此时有1×6=6种情况,此时有24+18+12+6=60种情况,则一共有24+42+54+60=180种情况;故答案为:180.15.(2020•余姚市校级模拟)若(2x+1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,则a0= 1 ,a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6= 13 .【解答】解:设f(x)=(2x+1)6,g(x)=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6,所以f′(x)=12(2x+1)5,g′(x)=a1+2a2(x+1)+…+6a6(x+1)5,又f(x)=g(x),所以f′(x)=g′(x),即12(2x+1)5=a1+2a2(x+1)+…+6a6(x+1)5,取x=0得:a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12,又g(0)=f(0), 所以a0=1,故a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=1+12=13,故答案为:1,13.16.(2020春•沙坪坝区校级月考)已知g(x)=Cf()x0(1﹣x)n+Cf()x1(1﹣x)n﹣1+Cf()x2(1﹣x)n﹣2+…+Cf()xn(1﹣x)0,其中f(x)=x.若r≥1时,有rCnC成立,则g(6)= 6 .【解答】解:因为f(x)=x,则f(),∴g(x)•0•x•(1﹣x)n﹣1••x2•(1﹣x)n﹣2••xk•(1﹣x)n﹣k+…+∁nn•1•xn•(1﹣x)0又∵rCnC成立⇒•;∴g(x)=Cn﹣10•x•(1﹣x)n﹣1+Cn﹣11•x2•(1﹣x)n﹣2+Cn﹣12•x3•(1﹣x)n﹣3+…+Cn﹣1k﹣1•xk•(1﹣x)n﹣k+…+Cn﹣1n﹣2•xn﹣1•(1﹣x)+xn=x•[Cn﹣10•(1﹣x)n﹣1+Cn﹣11•x•(1﹣x)n﹣2+…+Cn﹣1n﹣2•xn﹣2•(1﹣x)+Cn﹣1n﹣1•xn﹣1]=x(1﹣x+x)n﹣1=x,故g(x)=x,且x≠0,x≠1;∴g(6)=6;故答案为:6.四.解答题(共5小题)17.(2019秋•新余期末)已知(x2+1)n展开式中各项系数之和等于(x2)5的展开式的常数项,(1)求(x2+1)n展开式的第2项;(2)若(ax2+1)n的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54,求a的值.【解答】解:(1)由(x2)5得,Tr+1(x2)5﹣r()r=()5﹣r••x, 令Tr+1为常数项,则20﹣5r=0,∴r=4,∴常数项T516.又(x2+1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n=16,∴n=4.∴展开式的第二项为4x6.(2)由(1)可得n=4,由二项式系数的性质知,(ax2+1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,∴C42a2=6a2=54,∴a=±3.18.(2020春•越秀区校级期中)如图,从左到右有5个空格.(1)若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数,要求每个数都要用到,且第三个格子不能填0,则一共有多少不同的填法?(2)若给这5个空格涂上颜色,要求相邻格子不同色,现有红黄蓝3颜色可供使用,问一共有多少不同的涂法?(3)若向这5个格子放入7个不同的小球,要求每个格子里都有球,问有多少种不同的放法?【解答】解:(1)根据题意,分2步进行分析:①、第三个格子不能填0,则0有4种选法;②、将其余的4个数字全排列,安排在其他四个格子中,有A44种情况,则一共有种不同的填法;(2)根据题意,第一个格子有3种颜色可选,即有3种情况,第二个格子与第一个格子的颜色不能相同,有2种颜色可选,即有2种情况,同理可得:第三、四、五个格子都有2种情况,则五个格子共有3×2×2×2×2=48种不同的涂法;(3)根据题意,分2步进行分析:①、将7个小球分成5组,有2种分法: 若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组,有种分法,若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组,有C73种分组方法,则有(C73)种分组方法,②、将分好的5组全排列,对应5个空格,有A55种情况,则一共有种放法.19.(2018秋•盐城期末)设(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若展开式中第4项与第5项二项式系数最大.(1)求n;(2)求最大的系数ai;(3)是否存在正整数m,使得am+2+4am=4am+1成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)若展开式中第4项与第5项二项式系数最大,即,则n=7.(2)设(1+2x)7展开式中第r+1项Tr+1是系数最大的项,则,由不等式组,解得,且r∈N,∴r=5,所以.(3)因为,所以,因为am+2+4am=4am+1,所以,所以,由此方程可得:,解得:m=1或4. 综上:存在m=1或4,使得am+2+4am=4am+1成立.20.(2019春•启东市校级期中)7个人排成一排,按下列要求各有多少种排法?(1)其中甲不站排头,乙不站排尾;(2)其中甲、乙、丙3人两两不相邻;(3)其中甲、乙中间有且只有1人;(4)其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列.【解答】解:(1)根据题意,分2种情况讨论:①、甲站在排尾,剩余6人进行全排列,安排在其他6个位置,有种排法,②、甲不站在排尾,则甲有5个位置可选,有种排法,乙不能在排尾,也有5个位置可选,有种排法,剩余5人进行全排列,安排在其他5个位置,有种排法,则此时有种排法;故甲不站排头,乙不站排尾的排法有3720种.(2)根据题意,分2步进行分析,①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列,有种情况,排好后,有5个空位,②、在5个空位种任选3个,安排甲、乙、丙3人,有A53种情况,则共有1440种排法.(3)根据题意,分2步进行分析:①、先将甲、乙全排列,有种情况,②、在剩余的5个人中任选1个,安排在甲乙之间,有种选法,③、将三人看成一个整体,与其他四人进行全排列,有种排法,则甲、乙中间有且只有1人共有1200种排法.(4)根据题意,分2步进行分析:①、在7个位置中任取4个,安排除甲、乙、丙之外的4人,有A74种排法,②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中,只有1种排法,则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A74=840种.21.(2019春•宜兴市期末)已知fn(x)Cxk(n∈N*). (Ⅰ)计算fk(﹣1)的值;(Ⅱ)若g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)+4f7(x),求g(x)中含x4项的系数;(Ⅲ)证明:.【解答】解:(Ⅰ)∵=(1+x)n﹣1,∴fn(﹣1)=﹣1;∴;(Ⅱ)g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x)+4f7(x)=(1+x)4+2(1+x)5+3(1+x)6+4(1+x)7﹣10,g(x)中的x4项的系数为;(Ⅲ)设h(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2+…+n(1+x)m+n(x≠0与﹣1)①则函数h(x)中含xm+1项的系数为,另一方面,由①×(1+x)得:(1+x)h(x)=(1+x)m+2+2(1+x)m+3+…+n(1+x)m+n+1②,①﹣②得:,∴,则h(x)中含xm+1项的系数为,,∴得证. 查看更多

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