资料简介
5.3.1函数的单调性(2)导学案1.掌握利用导数判断函数的单调性的一般步骤.2.探究函数增减的快慢与导数的关系.3.学会处理含参函数的单调性问题重点:导数判断函数的单调性的一般步骤难点:含参函数的单调性问题1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递____f′(x)<0单调递____增;减2.判断函数y=f(x)的单调性第1步:确定函数的______;第2步:求出导数f′(x)的____;第3步:用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的____,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.定义域;零点;零点;正负3.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:导数的绝对值函数值变化函数的图象越大__比较“____”(向上或向下)越小__比较“____”(向上或向下)快;陡峭;慢;平缓
探究1.形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数应用广泛,下面我们利用导数来研究这类函数的单调性。例3.求函数的单调区间.如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题?用解不等式法求单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导函数f′(x);(3)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0),并写出解集;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练1.求下列函数的单调区间:(1)f(x)=3x2-2lnx;(2)f(x)=x2e-x.探究2:例4.设例5.设g(x)=lnx-ax2+(a-2)x,a<0,试讨论函数g(x)的单调性.利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响,以及不等式解集的端点与定义域的关系,恰当确定参数的不同范围,并进行分类讨论;(4)在不同的参数范围内,解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,确定函数f(x)的单调区间.跟踪训练2.试求函数f(x)=kx-lnx的单调区间.1.求函数f(x)=的单调区间.2.已知函数f(x)=x3-ax-1为单调递增函数,求实数a的取值范围.3.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,讨论f(x)的单调性.1.判断或证明函数的单调性,首先确定函数的定义域,然后求得函数的导数,根据导数的正负得到不等式的解集,从而确定函数的单调性.2.利用导数研究含参数函数的单调性时,常遇到三种情况:(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定,因此需根据区间端点的大小确定参数的范围,再分类讨论函数的单调区间.(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制,解函数导数不等式的区间端点含参数,此端点与函数定义域的端点大小不确定,因此需分类讨论.参考答案:知识梳理学习过程一、新知探究二、典例解析例3.解:函数的定义域为R,对f(x)求导,得
令0,解得:,在各区间上的正负,以及单调性如表所示。所以,f(x)在在上单调递增,在单调递减。如图所示如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题?跟踪训练1[解] (1)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-==,由x>0,f′(x)>0,解得x>.由x>0,f′(x)<0,解得0<x<.∴函数f(x)=3x2-2lnx的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)函数的定义域为D=(-∞,+∞).∵f′(x)=(x2)′e-x+x2(e-x)′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f′(x)=0,由于e-x>0,∴x1=0,x2=2,用x1,x2分割定义域D,得下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)
f′(x)-0+0-f(x)↘f(0)=0↗f(2)=↘∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).探究2:分析分析
例4.解:因为所以,,当x=1时,当00,(x-2)2>0.由f′(x)>0得x>3,所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞);由f′(x)
查看更多