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专题4.5数学归纳法（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）已知，则（）A．中共有项，当n=2时，B．中共有项，当n=2时，C．中共有项，当n=2时，D．中共有项，当n=2时，【答案】C【解析】中共有项，当n=2时，.故选：C2．（2020·全国高二课时练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（）A．n=k+1时等式成立B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立D．n=2(k+2)时等式成立【答案】B【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，不是，因为是偶数，是奇数，故选：．3．（2020·全国高二课时练习）平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（）A．B．
C．D．【答案】B【解析】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．故选：B．4．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，结合本题，当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，成立.因此当时，命题成立．所以第一步证明中的起始值应取．故选：D．5．（2020·上海普陀区·曹杨二中高二期中）用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（）A．增加一项B．增加两项、C．增加，且减少一项D．增加、，且减少一项【答案】D【解析】
由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，那么时，有：，∴，综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项故选：D6．（2020·江西省奉新县第一中学高三月考（理））用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，左边，当时，左边，所以左边增加分母是连续的正整数，所以共增加了项，所以的假设证明时，不等式左边需增加的项数为，故选：C7．（2020·陕西省商丹高新学校高二期中（理））已知，证明不等式时，比多的项数是（）A．项B．项C．项D．以上都不对【答案】C【解析】因为，，所以，
所以比多的项数是.故选：C.8．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“到”左边增加的项数是（）A．项B．项C．项D．项【答案】D【解析】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项；当时，左边，共有项；所以从“到”左边增加的项数是项.故选D9．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.A．B．C．D．【答案】B【解析】假设时命题成立，即能被9整除，当时，能被9整除
要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除故选：10．（2020·浙江高三二模）数列满足：，，数列前项和为，则以下说法正确个数是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】在①中，用数学归纳法求证：当时，，成立，假设，则一方面，另一方面由于时，，∴，∴，故①正确；在②中，由于当时，令，则，由于时，，故，在单调递增，，所以在上单调递增，故，所以，即，则，∴，故②正确；
在③中，由于，∴，∴，∴，∴，故③正确；在④中，，，故④正确.故选：.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·全国高二课时练习）已知，用数学归纳法证明时，_________．【答案】【解析】因为当时，，当时，，所以．故答案为：．12．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【解析】当时，原式为：，当时，原式为，
比较后可知多了，共5项.故答案为：513．（2019·海口市高三月考）已知数列的前项和为，满足，，则___________.【答案】【解析】因为当时，有，因此由，可得，化简得：，因为,所以，，由此猜想数列的通项公式为：，现用数学归纳法证明：当时，，显然成立；假设当时成立，即，当时，，综上所述：.故答案为：14．（2020·上海高二课时练习）在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________．【答案】【解析】当时，原式，当时，原式，当时，原式.则从到增加的表达式是.
故答案为：；.15．（2020·浙江绍兴市·高二期中）若，用数学归纳法验证关于的命题时，第一步计算________；第二步“从到时”，________．【答案】【解析】，；，故答案为：；.16．（2018·全国高二单元测试）探索表达式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的结果时,第一步当n=____时,A=____.【答案】21【解析】∵n>1,且n∈N*∴n=2,时，A=(2-1)(2-1)!=1故答案为2,117．（2019·全国高二专题练习（文））（1）用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取________________；（2）利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该是________________．【答案】5【解析】
（1）由于时，；时，；时，；时，；时，，所以当时，成立．故第一步证明中的起始值应取5．（2）用数学归纳法证明“()”时，在验证成立时，将代入，左边以1即开始、以结束，所以左边应该是．三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．【答案】证明见解析.【解析】由，得，所以,用数学归纳法证明不等式成立，证明如下：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立．②假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边,,右边．所以当时，不等式也成立．由①②可得不等式对任意的都成立，即原不等式成立．19．（2020·全国高二课时练习）观察下列等式：
．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【答案】（1）；，；（2）证明见解析.【解析】（1）第5个等式为．第个等式为，．（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．②假设时，命题成立，即，则当时，，即时等式成立．根据①和②，可知对任意等式都成立．20．（2020·广西高三其他模拟（理））设数列满足，.（1）计算，.猜想的通项公式并利用数学归纳法加以证明；（2）记，求数列的前n项和.【答案】（1），，；证明见解析；（2）.
【解析】（1）由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）因为.∴，①，②①-②得：.∴.21．（2020·全国高二课时练习）已知正项数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求证：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可得，，，，从而猜想．用数学归纳法证明如下：①当时，有，猜想成立；②假设当时猜想成立，即，则当
时，，所以当时，猜想也成立．由①②可知，对任意都成立．∴数列的通项公式为，．（2）证明：，由基本不等式可得，所以，所以．22．（2020·浦东新区·上海师大附中高三期中）已知函数.（1）当，时，若存在，，使得，求实数c的取值范围；（2）若二次函数对一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一个二次函数，使得对任意正整数k，当时，都有成立，请给出结论，并加以证明.【答案】（1）；（2）；（3）存在，；证明见解析.【解析】（1）当，时，由题意可知，在，上有两个不等实根，或在，上有两个不等实根，则或，解得或即实数的取值范围是或．（2）二次函数对一切恒有成立，
可得，解得，（1），函数的对称轴为，设函数，由（1），（5），可得，，解得，，，．（3）存在符合条件的二次函数．设，则当，2，3时有：（5）①；②；③．联立①、②、③，解得，，．于是，．下面证明二次函数符合条件．因为，同理：；，所求的二次函数符合条件．
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