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专题5.3导数在研究函数中的应用（2）（B卷提升篇）（新教材人教A,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·江西高三期中（文））已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（）A．在区间上单调递减B．的一个增区间为C．的一个极大值为D．的最大值为【答案】B【解析】由的部分图像可得：在上，，所以单调递增，所以A不正确，B正确；由，导函数在左右两侧的函数值异号，所以是的一个极小值，所以C不正确，同理可知是的一个极大值，并不一定是最大值，D不正确.故选：B.2．（2020·四川成都七中高三月考）“”是“函数在上有极值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】
，则，令，可得.当时，；当时，.所以，函数在处取得极小值.若函数在上有极值，则，.因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选：A.3．（2020·全国高二（文））函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】令，所以，故在上单调递增，又，所以当时，，即，所以的解集为：故选：D．4．（2020·内蒙古高三其他模拟（理））设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】
由题得，设切点，，则，；则切线方程为：，即，又因为，所以，，则，令，则，则有，；，，即在上递增，在上递减，所以时，取最大值，即的最大值为.故选：C.5．（2020·贵州遵义·高三其他模拟（理））若函数无极值点则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,，由函数无极值点知，至多1个实数根，，解得，实数a的取值范围是，
故选：B6.（2020·全国高二）若定义在上的函数满足，，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，所以在上单调递增，又因为，所以，即不等式的解集是，故选：C7.（2020·石嘴山市第三中学高三月考（理））已知函数，若，，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，作出函数的图象，如图所示：若，，则，则，，令，，则，，此时，则恒成立，所以函数单调递增，
所以，所以实数的取值范围为.故选：D.8．（2020·高三月考（文））已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由在处取得极大值可知，当时，；当时，，其等价于①存在，使得，且②存在，使得；若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值；若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值；若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值；
若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值.综上，的取值范围是.故选：A.9．（2021·湖南湘潭·高三月考（理））已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根，显然，所以有两个不同实数根，记，，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为时，；当时，；当时，，所以当有两个不同实数根时，所以，所以，故选：D.10．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（）A．1B．C．eD．【答案】C【解析】
当，即时，在时，，则此时，在上恒成立,所以在上单调递增，则当，即时，在时，，则所以在上单调递增，则当，即时，若，则，，此时单调递增，则，，此时单调递增又时，两段在处的函数值相等，所以在上单调递增所以综上所述可得：由一次函数的单调性可得当时，有最小值故选：C第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·咸阳市高新一中高三期中（文））已知为正实数，若函数的极小值为0，则的值为_____【答案】．【解析】由题意，∵，∴或时，，时，，
∴在和上递增，在上递减，的极小值是，解得（舍去）．故答案为：12．（2019·湖北高三月考（文））函数在上的极________(填“大”或“小”）值点为_________.【答案】大【解析】令，则，令，解得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有极大值点，为．故答案为大；13．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得：，令解得；令解得或，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处取到极大值2，所以极大值必是区间上的最大值，∴，解得.检验满足题意故答案为：.
14．（2020·江苏盐城·高三期中）若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是_______.【答案】【解析】因为，所以，设，因为函数在上存在两个极值点，所以在上存在两个零点，所以在上存在两个零点，设为且，所以根据韦达定理有：，故，因为，所以，，由于，所以.
故答案为：.15．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数.（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是________.【答案】1【解析】（1）函数定义域是，，时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，，由（1）当时，，且，满足题意；当，在上递增，，在递减，，只要即可，∴，综上，的最小值是1.．故答案为：；1．16．（2020·重庆高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是______，的最大值为_____.【答案】【解析】作出函数的图像如下图所示，要使关于的方程恰有两个不同的实数根和，则需
，解得，不妨设，则，令，则，所以，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，所以的最大值为，故答案为：；.17．（2020·宁夏高三月考（文））设函数.①若，则的最大值为____________________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________________.【答案】2【解析】①若，则，时的值域为，时，则故时，单调递增；时，单调递减，，故值域为，
综上，值域为，最大值为2；②函数，故时的值域为，所以要使无最大值，则需时的最大值小于.由，知，当时在上单调递增，，故解得；当时或，故且，无解，综上，要使无最大值，则.故答案为：2；.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·北京高三期中）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.【解析】（1）因为，由，得.所以或.所以不等式的解集为或；（2）由得：.令，得，或（舍）.与在区间[0，2]上的情况如下：x0（0，1）1（1，2）2
－0+0减增所以当时，取得最小值；当时，取得最大值.19．（2020·江西高三期中（文））已知函数，，其中.（1）求函数的极值；（2）若的图像在，处的切线互相垂直，求的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）1.【解析】（1）函数的定义或为，，若，恒成立，此时在上单调递增，无极值；若时，，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，有极小值，无极大值.（2），则，其中，，，且，，，当且仅当时取等号，
当，时，取最小值1.20．（2020·高二月考）已知函数f（x）＝ax2ex﹣1（a≠0）.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知a＞0且x∈[1，+∞），若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.【答案】（1）当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞），单调递减区间为（﹣2,0）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2,0），单调递减区间为（﹣∞,﹣2）和（0,+∞）；（2）.【解析】（1）f'（x）＝2axex+ax2ex＝axex（2+x），令f'（x）＝0，则x＝0或x＝﹣2，①若a＞0，当x＜﹣2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；②若a＜0，当x＜﹣2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣2＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），单调递减区间为（﹣2，0）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣2，0），单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）.（2）当a＞0时，由（1）可知，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，若函数没有零点，则f（1）＝ae﹣1＞0，解得，故a的取值范围为.21．（2020·云南高三期末（理））已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.
【答案】（1）；（2）最大值点为..【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上成立，而的最大值为，∴，解得：.（2），∴，由得：，，则在，上单调递减，在上单调递增，又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或，而，当，即时，，得，此时，最大值点；当，即时，，得（舍）.综上在上的最大值点为.22．（2020·广东高三月考）已知函数.(1)若函数，求函数的极值；
(2)若在时恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）的极大值是，无极大值；（2）.【解析】（1），定义域为，.；；当变化时，的变化情况如下表:1-0+↘极小值↗由上表可得的极大值是，无极大值；（2）由在时恒成立，即，整理为在时恒成立.设，则，当时，，且，.当时，，设在上单调递增，当时，；当时，，，使得∴当时，；当时，.
∴当时，；当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增..，，∴当时，，的最小值是.
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