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课时分层作业(十五) 简单复合函数的导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．若f(x)＝exln2x，则f′(x)＝( )A．exln2x＋ B．exln2x－C．exln2x＋D．2ex·C [f′(x)＝exln2x＋ex×＝exln2x＋.]2．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则的值为( )A．10B．－10C．－20D．20C [∵f(x)＝2ln(3x)＋8x，∴f′(x)＝＋8＝8＋.根据导数定义知＝－2＝－2f′(1)＝－20.故应选C.]3．已知f(x)＝，则f′＝( )A．－2－ln2B．－2＋ln2C．2－ln2D．2＋ln2D [依题意有f′(x)＝，故f′＝＝2＋ln2，所以选D.]4．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝xlnx＋1则曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为( )A．y＝－xB．y＝－x＋2
C．y＝xD．y＝x－2A [因为x＜0，f(x)＝f(－x)＝－xln(－x)＋1，f(－1)＝1，f′(x)＝－ln(－x)－1，f′(－1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线方程为y－1＝－(x＋1)，即y＝－x.故选A.]5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－2B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，依题意有由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]二、填空题6．若函数f(x)＝，则f′(x)＝________. [∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.]7．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．]8．已知P为指数函数f(x)＝ex图象上一点，Q为直线y＝x－1上一点，则线段PQ长度的最小值是________． [设f(x)图象上斜率为1的切线的切点是P(x0，y0)，由f′(x)＝ex，f′(x0)＝e＝1，x0＝0，f(0)＝1，即P(0，1)．P到直线y＝x－1的距离是d＝＝.]三、解答题9．求下列函数的导数：
(1)y＝a2x－3；(2)y＝x2cos；(3)y＝e－xlnx；(4)y＝.[解] (1)因为y＝a2x－3，所以y′＝a2x－3lna·(2x－3)′＝2a2x－3lna.(2)因为y＝x2cos，所以y′＝2xcos＋x2′＝2xcos－x2sin′＝2xcos－2x2sin.(3)因为y＝e－xlnx，所以y′＝(e－x)′lnx＋e－x·＝－e－xlnx＋＝.(4)因为y＝＝(1－2x)，所以y′＝－(1－2x)×(－2)＝.10．曲线y＝esinx在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．[解] ∵y＝esinx，∴y′＝esinxcosx，∴y′|x＝0＝1.∴曲线y＝esinx在(0，1)处的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设直线l为x－y＋m＝0.由＝得m＝－1或3.∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
11．(多选题)下列结论中不正确的是( )A．若y＝cos，则y′＝－sinB．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝xsin2x，则y′＝xsin2xACD [对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝xsin2x，则y′＝sin2x＋xcos2x，故错误．故选ACD]12．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )A．B．C．D．1A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1，0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]13．(一题两空)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f′＝，则φ＝________；若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
或 [f′(x)＝－sin(x＋φ)．由条件知，f′＝－sin(π＋φ)＝sinφ＝，∴sinφ＝，∵0＜φ＜π，∴φ＝或.又f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.]14．设P是曲线y＝x－x2－lnx上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________． [由y＝x－x2－lnx，得y′＝1－x－(x＞0)，∵1－x－＝1－≤1－2＝－1，当且仅当x＝1时等号成立．∴y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，∴tanθ≤－1，又θ∈[0，π)，∴θ∈.]
15．设函数f(x)＝aexlnx＋.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．[解] (1)由f(x)＝aexlnx＋，得f′(x)＝(aexlnx)′＋＝aexlnx＋＋.(2)由于切点既在曲线y＝f(x)上，又在切线y＝e(x－1)＋2上，将x＝1代入切线方程得y＝2，将x＝1代入函数f(x)得f(1)＝b，∴b＝2.将x＝1代入导函数f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1.
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