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课时分层作业(六) 等差数列前n项和的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )A．－2 B．－1 C．0 D．1B [等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.]2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝( )A．110B．150C．210D．280D [∵等差数列{an}前n项和为Sn，∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，∴S30＝150.又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280.故选D.]3．在等差数列{an}中，a1＝－2018，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2018的值等于( )A．－2018B．－2016C．－2019D．－2017A [由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2018－1)×1＝－2018＋2017＝－1.所以S2018＝－2018.]4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( )A．B．C．D．
D [因为等差数列{an}和{bn}，所以＝＝，又S21＝21a11，T21＝21b11，故令n＝21有＝＝，即＝，所以＝，故选D.]5.＋＋＋＋…＋等于( )A．B．C．D．C [通项an＝＝，∴原式＝＝＝.]二、填空题6．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.5 [∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.]7．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a2019的值为________．
1 [因为an＋1＝an＋(n∈N*)，所以an＋1－an＝＝－，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…a2019－a2018＝－，各式相加，可得a2019－a1＝1－，a2019－＝1－，所以a2019＝1，故答案为1.]8．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________.820 [因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，即an＝，所以a39＝＝820.]三、解答题9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．[解] 法一：＝＝＝＝＝＝＝.法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列，∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n.又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)，
Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R.∴an＝Sn－Sn－1＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)＝t(4n－1)(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)＝t(6n－5)(n≥2)．∴＝＝(n≥2)，∴＝＝＝.10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解] (1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.
11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为( )A．S13＝0B．a7＝0C．{an}为递增数列D．a13＝0AB [对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0.故A正确．对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误．对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6.故D错误．故AB正确．]12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )A．12B．14C．16D．18B [Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.]13．(一题两空)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________．11 7 [设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]14．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．5 [设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.]15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，则解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19.(2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，∴Tn＝－n2＋18n－10.当n＝1时，b1＝T1＝7；当n≥2且n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19.经验证b1≠17，∴bn＝当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0.∴当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152，综上所述：Rn＝
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