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课时分层作业(八) 等比数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B．2 C．4 D．8A [法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝.所以a5＝a1·24＝·24＝1.法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.又a7＝a5×q2，则a5＝＝1.]2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )A．21B．42C．63D．84B [∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为( )A．32B．64C．256D．±64B [由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a＝a1a99＝16，又∵a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.]
4．在各项不为零的等差数列中，2a2017－a＋2a2019＝0，数列是等比数列，且b2018＝a2018，则log2的值为( )A．1B．2C．4D．8C [因为等差数列中a2017＋a2019＝2a2018，所以2a2017－a＋2a2019＝4a2018－a＝0，因为各项不为零，所以a2018＝4，因为数列是等比数列，所以b2017·b2019＝a＝16.所以log2＝log216＝4，故选C.]5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于( )A．B．或C．D．以上都不对B [不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则m＝，其另一根为4，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x10，且lgan，lgan＋1，lgan＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________. [∵lgan，lgan＋1，lgan＋2成等差数列，∴a＝anan＋2，即为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a，从而a3a4a6a7＝a＝4，则a5＝±，又an>0，∴a5＝.]8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.50 [因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.]三、解答题9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．[解] ∵a1a5＝a，a3a7＝a，∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，同理得a＋2a3a5＋a＝100，∴∵an＞0，∴解得或分别解得或∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．[解] an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.又a1＝1，故b1＝＝－1，所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为( )A．1006B．1007C．1008D．1009BC [由题意可知a1a2a3…a2016＝a2016，故a1a2a3…a2015＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，所以a1008＝1，公比0＜q＜1，所以a1007＞1且0＜a1009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1007或1008.∴选BC.]12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．6B．7C．8D．9D [由题意可知a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，∴a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，故a，b均为正数．
∵a，b，－2适当排序后成等比数列，∴－2是a，b的等比中项，得ab＝4，∴q＝4.又a，b，－2适当排序后成等差数列，所以－2是第一项或第三项，不妨设a＜b，则－2，a，b成递增的等差数列，∴2a＝b－2，联立得消去b得a2＋a－2＝0，得a＝1或a＝－2，又a＞0，∴a＝1，此时b＝4，∴p＝a＋b＝5，∴p＋q＝9，选D.]13．(一题两空)数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，数列{an－1}若是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________.2 2n＋1 [由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2.∵首项为2，∴an－1＝2×2n－1＝2n.即an＝2n＋1.]14．(一题两空)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q的值为________，＝________.1＋ 3＋2 [依题意可得2×＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，整理得q2＝1＋2q，解得q＝1±，∵各项都是正数，∴q＞0，q＝1＋.∴＝＝q2＝3＋2.]15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．[解] (1)∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1.∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，又cn＝an－1，∴q＝.∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．(2)由(1)可知cn＝·＝－，∴an＝cn＋1＝1－.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝.又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝.(2)由(1)可知cn＝·＝－，∴an＝cn＋1＝1－.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－
＝.又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝.
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