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课时分层作业(二) 数列的递推公式与an和Sn的关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为( )A．an＝nB．an＝n＋1C．an＝2nD．an＝2n－1D [由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D.]2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是( )A． B． C． D．6B [由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝.故选B.]3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2020＝( )A．6B．－6C．3D．－3D [a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴周期为6，即an＋6＝an.∴a2020＝a6×336＋4＝a4＝－3.所以D选项是正确的．]4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于( )A．－16B．16C．31D．32B [由Sn＝2an－1知a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1，又n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，∴an＝2an－1.∴n＝2，3，4，5时，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，a5＝2a4＝16.故选B.]
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于( )A．7B．8C．9D．10C [因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，所以n＝9.]二、填空题6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________. [根据递推公式，可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1，由通项公式与求和公式的关系，可得an＝Sn－Sn－1，代入化简得an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，所以S1≠a1，∴an＝]7．已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2020的值是________． [数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，可得a2＝－3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2020＝a673×3＋1＝a1＝.]8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________． [法一：由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以累加得a10－a1＝1－
，a10＝.法二：由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝.]三、解答题9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an.[解] 将an＋1＝两边同时取倒数得：＝，则＝＋，即－＝，∴－＝，－＝，…，－＝，把以上这(n－1)个式子累加，得－＝.∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)．10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．[解] 假设第n项an为最大项，则即解得即4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.
11．(多选题)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是( )A．该数列是周期数列且周期为3B．该数列不是周期数列C．a2020＋a2021＝D．a2020＋a2021＝BC [a2＝f＝－1＝；a3＝f＝－1＝；a4＝f＝＋＝；a5＝f＝2×－1＝；a6＝f＝2×－1＝；…∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2020＋a2021＝a4＋a5＝.∴C正确，D错误．故选BC.]12．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于( )A．2n－1B．n2C．D．D [设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，Tn－1＝(n－1)2(n≥2)，∴n≥2时，an＝＝]13．(一题两空)数列{(25－2n)2n－1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
136 11 [令an＝(25－2n)2n－1，则a4＝(25－2×4)×24－1＝136.当n≥2时，设an为最大项，则即解得≤n≤.而n∈N*，所以n＝11，又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42，所以数列{(25－2n)2n－1}的最大项所在的项数为11.]14．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．640 [由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．]15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．[解] (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋
的单调性，可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.即a的取值范围是(－10，－8)．
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