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课时分层作业(十) 等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )A．7 B．8 C．15 D．16C [由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，∴q＝2，∴S4＝＝15.]2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )A．B．C．D．B [显然公比q≠1，由题意得解得或∴S5＝＝＝.]3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )A．150B．－200C．150或－200D．400A [依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，
解得S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.故选A.]4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( )A．1025B．1024C．10250D．20240C [∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250，故选C.]5．已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝( )A．30B．20C．10D．5或40A [设等差数列的公差为d，因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A.]二、填空题6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.－1 [由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1.]7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，S奇＝.由题意得＝.∴1＋q＝3，∴q＝2.]8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________.2n－1 [设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，则S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，因为S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.]三、解答题9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．[解] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝.又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12.故所求通项公式为an＝12×.10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是( )A．＝＋1B．若＝9，则q＝2C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2D．若＝9，则q＝3ABC [∵q≠1，∴＝＝1＋qm.而＝＝qm，∴A正确；B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正确；C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8.又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确；D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC.]12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )A．3n－1B．
C．D．A [由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1.]13．(一题两空)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________． 2 [设数列{an}共有2m＋1项，由题意得S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)＝2＋q＝，∴q＝.∴Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2，故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.]14．(一题两空)设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________.2n－1 2n＋1－n－2 [因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.]
15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．[解] (1)由题意得则又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.n≥3时，Tn＝3＋－＝.∴Tn＝
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