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4.4数学归纳法【题组一增项问题】1.(2020·霍邱县第二中学开学考试(理))用数学归纳法证明“”,在验证是否成立时,左边应该是()A.B.C.D.【答案】C【解析】用数学归纳法证明“”,在验证时,把代入,左边.故选:C.2.(2020·河南洛阳)用数学归纳法证明不等式时,以下说法正确的是()A.第一步应该验证当时不等式成立B.从“到”左边需要增加的代数式是C.从“到”左边需要增加项D.以上说法都不对【答案】D【解析】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确;因为,所以从“到”左边需要增加的代数式是,所以不正确;所以从“到”左边需要增加项,所以不正确。故选:D3.(2020·陕西省洛南中学高二月考(理))用数学归纳法证明,则当时,左端应在的基础上加上()A.B. C.D.【答案】C【解析】当n=k时,等式左端=1+2+…+k2,当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+(k+1)2增加了项(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2.故选C.4.(2020·吉林吉林·高二期末(理))用数学归纳法证明等式,时,由到时,等式左边应添加的项是()A.B.C.D.【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数,所以当由到时,等式左边增加了,故选C.5.(2020·山西高二期末(理))用数学归纳法证:(时)第二步证明中从“到”左边增加的项数是()A.项B.项C.项D.项【答案】D【解析】当时,左边,易知分母为连续正整数,所以,共有项;当时,左边,共有项;所以从“到”左边增加的项数是项.故选D6.(2020·吉林洮北·高二期末(理))用数学归纳法证明时,从到,不等式左边需添加的项是()A.B. C.D.【答案】B【解析】当时,所假设的不等式为,当时,要证明的不等式为,故需添加的项为:,故选:B.7.(2020·陕西渭滨·高二期末(理))用数学归纳法证明,则当时,左端应在的基础上加上()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时,等式左端,当时,等式左端,增加了项.故选:C.【题组二等式的证明】1.(2020·上海高三专题练习)求证:.【答案】证明见解析;【解析】当时,左边,右边,等式成立.假设时等式成立,即.那么当时,左边 右边.这就是说,当时等式仍成立.综上可知,对一切,等式成立.2.(2020·西藏乃东·山南二中高二月考(理))用数学归纳法证明:【答案】证明见解析【解析】(1)当时,左边=-1,右边=-1,等式成立;(2)假设当时等式成立,即,则当时,左边=右边.所以,当时,等式成立;由(1)(2)可知,对.3.(2020·上海高二课时练习)用数学归纳法证明:.【答案】证明见解析.【解析】当时,,等式成立,假设当时,等式成立,即则当时, ,原等式仍然成立,所以4.(2020·上海高二课时练习)设,证明:.【答案】证明见解析;【解析】当时,左边,右边,故等式成立.假设当时,等式成立,即,当时,..所以当时,等式也成立. 综上所述,对任意,等式成立.5.(2020·上海高二课时练习)用数学归纳法证明:.【答案】证明见解析【解析】证明:①当时,左边,右边,等式成立.②假设当时等式成立,即.那么当时,,等式也成立.根据①和②,可知对任何都成立.原等式得证.【题组三不等式的证明】1.(2020·上海高三专题练习)用数学归纳法证明:.【答案】证明见解析;【解析】(1)当时,左边,右边,不等式成立.(2)假设当,时,不等式成立,即有,则当时,左边 ,又即,即当时,不等式也成立.综上可得,对于任意,成立.2.(2019·周口市中英文学校高二期中(文))用数学归纳法证明1+≤1+≤+n(n∈N*).【答案】见解析【解析】(1)当n=1时,≤1+≤,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即1+≤1+++…+≤+k,则当n=k+1时,1+++…++++…+>1++2k·=1+.又1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1),即n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.【题组四整除】1.(2020·上海高二课时练习)求证:能被整除.【答案】见解析【解析】当时,原式,能被整除;②当时,假设,能被整除,当时,,均可被整除, 所以当时,命题成立。综上:由①②知能被整除【题组五数归在数列中的应用】1.(2020·上海市市西中学月考)数列满足).(1)计算,并由此猜想通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【答案】(1),;(2)证明见解析.【解析】(1),由此猜想;(2)证明:当时,,结论成立;假设(,且),结论成立,即当(,且)时,,即,所以,这表明当时,结论成立,综上所述,.2.(2020·安徽庐江·高二月考(理))各项都为正数的数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)求证:对一切恒成立.【答案】(1);(2)见解析【解析】(1)因为,所以数列是首项为1,公差为2的等差数列,所以,又,则. (2)证明:由(1)知,即证.①当时,左边,右边,所以不等式成立;当时,左边右边,所以不等式成立.②假设当时不等式成立,即当时,左边所以当时不等式成立.由①②知对一切不等式恒成立.3.(2020·浙江高三其他)已知数列前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)记为的前项和,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)当时,由,即,所以,,又,故数列为首项与公差都为的等差数列, 所以,,即,故,而,故数列的通项公式:.(2)由(1)可得,所以,要证明,即证明.数学归纳法证明:当时,左边,右边,不等式成立;假设当时,成立,那么当时,左边右边.即当时,不等式也成立;综上,当时,不等式成立, 故. 查看更多

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