资料简介
4.2.2等差数列的前n项和思维导图常见考法
考点一等差数列的基本量【例1】(2020·陕西省安康中学其他(理))记为等差数列的前项和,,,则()A.-77B.-70C.-49D.-42【答案】A【解析】由,得,∴,,.故选:A【一隅三反】1.(2020·内蒙古赤峰)若等差数列的前项和为,且满足,,则公差()A.1B.C.2D.【答案】A【解析】∵,∴,,解得.故选:A.2.(2020·河南信阳·其他(文))正项等差数列的前和为,已知,则=()A.35B.36C.45D.54【答案】C【解析】正项等差数列的前项和,,,
解得或(舍),,故选C.3.(2020·湖北十堰)已知等差数列的前n项和满足,则()A.12B.13C.14D.15【答案】D【解析】因为,所以,又,所以.故,解得.故选:D.考点二前n项和Sn与等差中项【例2】(1)(2020·高一期末)等差数列中,,则数列前11项和()A.12B.60C.66D.72(2).(2020·吉林朝阳·开学考试)设是等差数列的前n项和,若则()A.B.C.D.【答案】(1)C(2)A【解析】(1)在等差数列中,,所以所以.故选:C.(2)在等差数列{an}中,由,得故选:A
(1)如果为等差数列,若,则.(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用,如.【一隅三反】1.(2020·四川成都·二模(文))若数列为等差数列,且满足,为数列的前项和,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,由等差数列性质,若,则得,.为数列的前项和,则.故选:.2.(2020·河北运河·沧州市一中月考)若两个等差数列的前n项和分别为,,且满足,则()A.2B.C.D.【答案】D【解析】,又因为,所以.故选:D3.(2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中)两等差数列和,前n项和分别为,,且,则的值为()A.B.C.D.【答案】A
【解析】在为等差数列中,当,,,时,.所以,又因为,所以.故选:A.4.(2020·湖南宁乡一中)在等差数列中,,则此数列前项的和是( ).A.B.C.D.【答案】B【解析】由等差数列的性质可得:,,代入已知可得,即,故数列的前项之和.故选.考点三前n项和Sn的性质【例3】(1)(2020·陕西省洛南中学高二月考)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.6B.5C.4D.3(2).(2019·陕西武功·高三月考(理))设等差数列的前项和为若,,则()A.45B.54C.72D.81(3)(2020·浙江吴兴·)设为等差数列的前项和,且,,则()A.B.C.D.【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)因为某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,因此数列的第一、三、五、七、九项的和,写出数列的第二、四、六、八、十项的和,都用首项和公差表示,两式相减,得到结果.5a1+20d=15,5a1+25d=30,d=3,选B(2)因为为等差数列,所以为等差数列,
所以即,所以,故选B.(3)设等差数列的公差为,则,则,因此,.故选:A.一般地,如果为等差数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)且;(3)且为等差数列;(4)为等差数列【一隅三反】1.(2020·山东省高二期中)一个等差数列共有项,若前项的和为100,后项的和为200,则中间项的和为()A.75B.100C.50D.125【答案】A【解析】设等差数列前项的和为,由等差数列的性质可得,中间的项的和可设为,后项的和设为,由题意得,,解得,,故中间的项的和为75,故选:A.2.(2020·河北运河·沧州市一中月考)是等差数列}的前n项和,若,则为()A.B.C.D.【答案】A
【解析】设,根据是一个首项为,公差为的等差数列,各项分别为,故.故选:.3.(2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考(理))在等差数列中,,其前项和为,若,则()A.0B.2018C.D.2020【答案】D【解析】设等差数列的公差为d,由等差数列的性质可得为等差数列,的公差为.,,解得.则.故选:D.考点四前n项和Sn的最值【例4】(2020·陕西省洛南中学高二月考)已知数列中,则数列的前项和最大时,的值为()A.8B.7或8C.8或9D.9【答案】C【解析】,数列是等差数列,并且公差为,,对称轴是,,所以当或时,取得最大值.故选:C【一隅三反】1.(2021·河南淇滨·高二月考)等差数列{an}的前n项和为Sn,S100>0,S101<0,则满足anan+1<0的n=()A.50B.51C.100D.101
【答案】A【解析】根据题意,等差数列中,,,则有,则有;又由,则有;则有,若,必有;故选:A2.(2020·吉林南关·长春市实验中学)已知数列是等差数列,若,,且数列的前项和有最大值,那么取得最小正值时等于()A.1B.C.D.【答案】D【解析】因为等差数列的前项和有最大值,故可得因为,故可得,整理得,即,又因为,故可得.又因为,,故取得最小正值时n等于.故选:D.3.(2020·安徽金安·高一期中(文))已知等差数列的前n项和为,,,则当S取得最小值时,n的值为()A.4B.6C.7D.8【答案】C【解析】因为,故.因为,故,所以,所以当时,取得最小值.故选:C.4.(2020·安徽金安·高一期中(理))已知等差数列的前项和为,若,,则,,…,中最大的是()
A.B.C.D.【答案】C【解析】由,得到;由,得到,∴等差数列为递减数列,且,,,当时,,且最大,最小,所以最大;当时,,此时;当时,,且,,所以,综上所述,,,…,中最大的是.故选:C.考点五含有绝对值的求和【例5】(2021·河南淇滨·高二月考)已知两个等差数列、,其中,,,记前项和为,.(1)求数列与的通项公式;(2)记,设,求.【答案】(1),;(2).
【解析】(1),当时,,满足,.设等差数列的公差为,则,;(2)由(1)知,,.当时,;当时,.综上所述,.【一隅三反】1.(2019·浙江吴兴·高一月考)已知等差数列中,,,记,记的前项和为,的前项和为.(1)求首项和公差;(2)求和的表达式【答案】(1),;(2),.【解析】(1)由题可得,解得,;(2)由(1)可知,
,,当,即时,,当时,,.2.(2020·安徽月考)已知数列的前n项和为,且().(1)求的最小值;(2)求数列的前20项和.【答案】(1).(2)【解析】(1),又,所以当或时,取得最小值,且最小值为.(2)当时,,所以.当时,满足上式,所以.由,解得,于是数列前9项为负,第10项为0,第11到20项为正.所以数列的前20项和为
.3.(2020·期末)已知数列的前项和.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,所以当时,,又因为时,适合上式,所以;(2)因为.①当时,,所以;②当时,,所以.所以.
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