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5.2.2导数的四则运算法则[A级 基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A．－1 B．－2C．2D．0解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函数y＝的导数是( )A.B.C.D.解析：选A y′＝′＝＝＝.3．曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x＋2B．y＝2x－2C．y＝x－1D．y＝x＋1解析：选C ∵f′(x)＝lnx＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0B．1C．2D．3解析：选D y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1B．±1C．－1D．－2解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx.∴f＝1.答案：19．求下列函数的导数：
(1)y＝－lnx；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝；(4)y＝.解：(1)y′＝(－lnx)′＝()′－(lnx)′＝－.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝＝.(4)y′＝＝.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.∴a＝，c＝－.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.[B级 综合运用]11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝( )A．e－1B．－1C．－e－1D．－e解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.12．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( )A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－＞0，整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.13．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.答案：2－114．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C级 拓展探究]15．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.由于fn(x)＝－1，所以0＝fn(an)＝－1，由此可得an＝＋a＞，故＜an＜.所以0＜an－＝a＜×n＋1＝.
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