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第三章§3.3抛物线
1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 抛物线的定义1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)的点的轨迹.2.焦点：定点F.3.准线：定直线l.距离相等
思考抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?答案若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
知识点二 抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程________________________________________________________y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)
________________________________________________________x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)
思考抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？答案p的几何意义是焦点到准线的距离.
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.()2.抛物线的方程都是二次函数.()3.抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离.()4.方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线.()××√×
2题型探究PARTTWO
一、求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)经过点(－3，－1)；解因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
解对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
跟踪训练1(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝____，准线方程为________.2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
(2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________________.x2＝10y和x2＝－10y解析设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于A.1B.2C.4D.8√
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知，
延伸探究1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值.所以点A在抛物线内部.则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
解如图，作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.即所求最小值为1.
反思感悟抛物线定义的应用实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
跟踪训练2(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为______.4解析把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为A.1B.2C.3D.4√解析由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
核心素养之数学建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO抛物线的实际应用问题典例河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.
素养提升首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为(1)建系：建立适当的坐标系.(2)假设：设出合适的抛物线标准方程.(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解：求出需要求出的量.(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
3随堂演练PARTTHREE
1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是A.y2＝－8xB.y2＝8xC.y2＝－4xD.y2＝4x√12345
2.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为√12345解析由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
√12345
4.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为√12345解析因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以l为抛物线的准线，所以l：y＝－1.
5.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为__________________.(－9,6)或(－9，－6)故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6).12345
1.知识清单：(1)抛物线的定义.(2)抛物线的标准方程的四种形式.(3)抛物线定义的应用.2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
解析抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.√基础巩固12345678910111213141516
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为A.(－1,0)B.(1,0)C.(0，－1)D.(0,1)√12345678910111213141516故焦点坐标为(1，0).故选B.
3.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为A.y2＝xB.y2＝8xC.y2＝－8xD.x2＝－8y√12345678910111213141516√解析当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
√12345678910111213141516
A.2B.3C.4D.8√12345678910111213141516
6.已知双曲线－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝____.123456789101112131415163解析由题意得m＋1＝22，解得m＝3.
7.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是_____________________________.12345678910111213141516解析由方程y2＝－12x，知焦点F(－3,0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.
8.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为______，准线方程为________.12345678910111213141516(1,0)x＝－1解析圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.
9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.12345678910111213141516
解方法一如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，12345678910111213141516
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10.花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，点P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1m)12345678910111213141516
解如图所示，建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).故得抛物线方程为x2＝－y.即水池的直径至少应设计为5m.12345678910111213141516
11.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为A.1B.2C.3D.4√12345678910111213141516综合运用解析由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.因为抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，所以P(4，±4)，
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0).123456789101112131415166即x1＋x2＋x3＝3，
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝_____.12345678910111213141516不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，
14.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是____.2解析如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，12345678910111213141516
15.对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________.(要求填写适合条件的序号)12345678910111213141516拓广探究②④
解析抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；12345678910111213141516若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足.
16.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；12345678910111213141516解依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.如图，连接AF，交抛物线于点P，
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.12345678910111213141516自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.
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