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第三章3.2.2双曲线的简单几何性质
1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 双曲线的性质标准方程图形
性质范围___________________________对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线________________离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a，b，c间的关系c2＝(c>a>0，c>b>0)x≥a或x≤－ay≤－a或y≥aa2＋b2
思考双曲线的离心率有什么作用？答案双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
实轴和虚轴的双曲线，它的渐近线方程是，离心率为.知识点二 等轴双曲线等长y＝±x
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU3.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.()4.双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点.()√×××
2题型探究PARTTWO
一、由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
延伸探究求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
反思感悟由双曲线的方程研究几何性质(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
二、由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程：
①②联立，无解.
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
跟踪训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程：代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，
解当所求双曲线的焦点在x轴上时，当所求双曲线的焦点在y轴上时，
三、求双曲线的离心率√
又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，
反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解.(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|，所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，
3随堂演练PARTTHREE
1.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则√√√12345
2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为√解析由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝___.2解析设B为双曲线的右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.12345678910111213141516
8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________.y2－3x2＝36a2＝64，c2＝64－16＝48，从而a′＝6，b′2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.12345678910111213141516
9.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；解由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，12345678910111213141516
(2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6.12345678910111213141516
解设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，12345678910111213141516
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又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，于是双曲线的离心率为2.12345678910111213141516
√12345678910111213141516综合运用
12345678910111213141516又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.
A.y2－x2＝96B.y2－x2＝160C.y2－x2＝80D.y2－x2＝24√12345678910111213141516解析设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
13.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为√12345678910111213141516
解析不妨取点M在第一象限，如图所示，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，12345678910111213141516
解析如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，12345678910111213141516(2，＋∞)
√12345678910111213141516拓广探究
解析因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，12345678910111213141516
(1)若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；所以焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，顶点坐标为(－2,0)，(2,0)，12345678910111213141516
12345678910111213141516所以实数m的取值范围是(5,10).
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