资料简介
第三章§3.1椭 圆
1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 椭圆的定义1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于(大于|F1F2|)的点的轨迹.2.焦点：两个定点F1，F2.3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝(常数)且2a|F1F2|.常数2a>
知识点二 椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__________________________________图形焦点坐标________________________________________a，b，c的关系__________F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)b2＝a2－c2
思考能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？答案能.椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大.
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.()2.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.()3.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.()4.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.()×××√
2题型探究PARTTWO
一、求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；解因为椭圆的焦点在y轴上，又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
解因为椭圆的焦点在y轴上，由椭圆的定义知，又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
解方法一①当椭圆焦点在x轴上时，由a>b>0，知不合题意，故舍去；
方法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
反思感悟确定椭圆标准方程的方法(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：
解方法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，
则a2b>0矛盾，舍去.方法二(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
二、椭圆的定义及其应用
从而|F1F2|＝2c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
反思感悟椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
解析由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.8
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，①2－②得mn(1＋cosα)＝6，④
即∠F1PF2＝60°.
三、与椭圆有关的轨迹问题解析设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.解设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
反思感悟求轨迹方程的常用方法(1)直接法设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；(2)定义法若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；(3)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去.
跟踪训练3在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.
解以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，所以a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
3随堂演练PARTTHREE
1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为A.5B.6C.7D.8√12345解析设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是A.1B.2C.3D.4√12345
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是A.(0，＋∞)B.(0,2)C.(1，＋∞)D.(0,1)√12345
4.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为，则此椭圆的标准方程为__________.12345所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y轴上，
5.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________.解析如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.12345
1.知识清单：(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.2.方法归纳：待定系数法、定义法、相关点法.3.常见误区：(1)忽视椭圆定义中a，c的条件.(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
基础巩固12345678910111213141516A.(5,0)，(－5,0)B.(0,5)，(0，－5)C.(0,12)，(0，－12)D.(12,0)，(－12,0)√解析c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.
√12345678910111213141516
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件√12345678910111213141516
A.5B.4C.3D.1√又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，12345678910111213141516
A.圆B.椭圆C.线段D.直线√解析设椭圆的右焦点为F2，又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆.12345678910111213141516
6.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________.故b2＝a2－c2＝3，12345678910111213141516
解析设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，123456789101112131415164
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知a2＝9，b2＝7，c2＝2.设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.因为∠AF1F2＝45°，12345678910111213141516
9.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解设点M的坐标为(x，y)，d是点M到直线x＝8的距离，所以，点M的轨迹是椭圆.12345678910111213141516
(1)求椭圆M的标准方程；解由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，12345678910111213141516
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.解由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，所以点P有4个，它们的坐标分别为12345678910111213141516
A.60°B.30°C.120°D.150°12345678910111213141516综合运用√
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，12345678910111213141516∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.
12345678910111213141516√
解析∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，12345678910111213141516
A.5B.7C.13D.15√12345678910111213141516解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
解析取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，1234567891011121314151612所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
12345678910111213141516拓广探究
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，12345678910111213141516
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解由题意得A(0，－b)，直线AB的方程为y＝x－b，由P(0,1)且BP∥x轴，得B(1＋b，1)，因为b>0，于是b＝2，所以B(3,1)，12345678910111213141516
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