资料简介
第三章3.3.2抛物线的简单几何性质
1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴
焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有个公共点；若Δ0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是A.8p2B.4p2C.2p2D.p2√解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝，求抛物线方程.
解由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
反思感悟把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是√解析设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
A.(2,0)B.(1,0)C.(8,0)D.(4,0)√
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0).
二、直线与抛物线的位置关系命题角度1直线与抛物线位置关系的判断例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)此时直线l平行于x轴.当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).①当Δ>0，即k0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝，求AB所在的直线方程.
所以直线AB的斜率存在，设为k，
解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
延伸探究本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.
反思感悟直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况.(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2(1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有A.4条B.3条C.2条D.1条√解析如图，过P可作抛物线的两条切线，即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点.故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
(2)设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为A.±2B.－1C.±1D.－2√解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25⇒k＝±2.
3随堂演练PARTTHREE
1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为√所以焦点F的坐标为(2,0)，12345
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为A.y2＝8xB.y2＝－8xC.x2＝8yD.x2＝－8y√12345√解析设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
√12345
4.抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝，则焦点F到直线AB的距离为____.123452解析由抛物线的方程可知F(1,0)，∴所求距离为3－1＝2.
5.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝______.123450或1解析当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
1.知识清单：(1)抛物线的几何性质.(2)直线与抛物线的位置关系.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法.3.常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为，则点P到抛物线的焦点F的距离为A.4B.5C.6D.7√基础巩固12345678910111213141516解析由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在√12345678910111213141516
解析当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意.当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，因而这样的直线有且仅有两条.12345678910111213141516
3.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于√12345678910111213141516
解析由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.12345678910111213141516
4.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于A.2B.3C.5D.7√12345678910111213141516解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.
5.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为A.18B.24C.36D.48√12345678910111213141516
解析不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，12345678910111213141516
6.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________.12345678910111213141516
解析如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，∵M为FN的中点，|MM′|＝1，7.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝_____.123456789101112131415166∴|MF|＝3，∴|FN|＝6
8.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点,则k的取值范围是_____________________.(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k0)，∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.12345678910111213141516
10.已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点.(1)求证：l与C必有两交点.12345678910111213141516证明联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点.
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值.因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，12345678910111213141516
11.若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为______.综合运用所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，12345678910111213141516
12.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点.若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________.12345678910111213141516
解析由抛物线的性质知A，B关于x轴对称.12345678910111213141516
123456789101112131415166解得p2＝36，p＝6.
14.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_____.48所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，12345678910111213141516
12345678910111213141516拓广探究√
解析由题意可知，抛物线的焦点为(2,0).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2).解得k＝2，故选D.12345678910111213141516
16.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；12345678910111213141516
消去y得4x2－20x＋9＝0，12345678910111213141516
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，12345678910111213141516
查看更多
