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第二章§2.4圆的方程
1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点 圆的一般方程1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程称为圆的一般方程.x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F0表示以为圆心，以为半径的圆
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.()2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.()3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.()××√√
2题型探究PARTTWO
一、圆的一般方程的辨析例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.解将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
反思感悟圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1(1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为A.r＝1，(－2,1)B.r＝2，(－2,1)C.r＝2，(2，－1)D.r＝1，(2，－1)√解析x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1).
(2)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是√解析因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，
二、求圆的一般方程例2已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.
解方法一(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1).又圆C的半径长代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
反思感悟求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程；(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程.
跟踪训练2(1)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________.x2＋y2－4x－4y－2＝0解析设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.
(2)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是______________________.x2＋y2－8x－2y＋12＝0解析设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
三、求动点的轨迹方程例3已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；解设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
反思感悟求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
跟踪训练3已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
3随堂演练PARTTHREE
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为A.(4，－6)，16B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4D.(2，－3)，16√12345
2.将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是A.x＋y－1＝0B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0D.x－y＋3＝0√12345解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2).A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为A.以(a，b)为圆心的圆B.以(－a，－b)为圆心的圆C.点(a，b)D.点(－a，－b)√12345解析原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴方程表示点(－a，－b).
4.已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是____________.12345(－∞，－1)解析方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k0，解得m0)关于直线y＝x对称，则有A.D＋E＝0B.D＝EC.D＝FD.E＝F√12345678910111213141516解析由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，
6.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是__________.12345678910111213141516
7.若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是__________.12345678910111213141516(－∞，1)解析点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，则(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4
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