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第二章§2.2直线的方程
1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 直线的一般式方程关于x和y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程(其中A，B不同时为0)叫做直线的，简称一般式.Ax＋By＋C＝0一般式方程
思考平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？答案都可以，原因如下：(1)若直线的斜率k存在.直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程.(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
知识点二 直线的五种形式的方程形式方程局限点斜式_______________不能表示斜率不存在的直线斜截式_________不能表示斜率不存在的直线两点式_____________截距式不能表示____________________________一般式______________无y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋bx1≠x2，y1≠y2与坐标轴平行及过原点的直线Ax＋By＋C＝0
思考当A＝0或B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？答案(1)若A＝0，此时B≠0，方程化为y＝，表示与y轴垂直的一条直线.(2)若B＝0，此时A≠0，方程化为x＝，表示与x轴垂直的一条直线.
知识点三 直线各种形式方程的互化
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.任何直线方程都能表示为一般式.()2.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化.()3.对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.()4.当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.()√×××
2题型探究PARTTWO
一、直线的一般式方程例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；即2x＋y－3＝0.(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；即x＋3y＋3＝0.
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.解y－2＝0.
反思感悟求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
跟踪训练1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________.x＋2y＋4＝02x－y－3＝0x＋y－1＝0
(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是A.x－2y＋4＝0B.x＋2y－4＝0C.x－2y－4＝0D.x＋2y＋4＝0√解析直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
二、直线的一般式方程的应用例2设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；解由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.由直线l化为斜截式方程得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.
延伸探究对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.解∵直线l与y轴平行，
反思感悟含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.
跟踪训练2(1)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝____.1解析由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；
(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.解整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，所以直线l经过定点M(1，－1).
核心素养之直观想象与数学运算HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANGYUSHUXUEYUNSUAN一般式下直线的平行与垂直的问题典例已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值.(1)l1⊥l2；解∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，
(2)l1∥l2.解∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2，当m＝－3时，l1∥l2；当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去.∴m＝－3.
素养提升(1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养.
3随堂演练PARTTHREE
√12345
12345A.30°B.60°C.150°D.120°√
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为A.A≠0B.B≠0C.A·B≠0D.A2＋B2≠0√12345解析方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
4.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)√12345解析kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，所以直线过定点(3,1).
5.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是____.123453
1.知识清单：(1)直线的一般式方程.(2)直线五种形式方程的互化.(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直.2.方法归纳：分类讨论法、化归转化.3.常见误区：忽视直线斜率不存在情况；忽视两直线重合情况.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为A.x－1＝－2(y－2)B.2x＋y－1＝0C.y－2＝－2(x－1)D.2x＋y－5＝0√基础巩固12345678910111213141516解析根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2.过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为A.x－2y＋4＝0B.2x＋y－7＝0C.x－2y＋3＝0D.x－2y＋5＝0√12345678910111213141516化简可得x－2y＋4＝0，故选A.
3.直线3x－2y－4＝0的截距式方程是√12345678910111213141516
4.已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数a的值为A.－1或2B.0或2C.2D.－1√12345678910111213141516解析由l1∥l2知，a×a＝1×(a＋2)，即a2－a－2＝0，∴a＝2或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，l1∥l2.∴a＝－1.
√12345678910111213141516
6.斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为______________.123456789101112131415162x－y＋1＝0解析由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
7.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为______.12345678910111213141516解析把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
8.若直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l的斜率k＝________.12345678910111213141516－1或3解析直线l经过原点时，可得斜率k＝3.直线不经过原点时，直线l过点(1,3)且在两条坐标轴上的截距相等，∴经过点(a，0)，(0，a).(a≠0).∴k＝－1.综上可得，直线l的斜率k＝－1或3.
9.已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；方法二由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.12345678910111213141516
(2)过点(－1,3)，且与l垂直.12345678910111213141516即4x－3y＋13＝0.方法二由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
10.已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.(1)若这两条直线垂直，求k的值；12345678910111213141516解根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，
(2)若这两条直线平行，求k的值.12345678910111213141516解根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检验，均符合题意.∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
11.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是√综合运用12345678910111213141516
12.两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是√12345678910111213141516解析令m×m＝1×1，得m＝±1.当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
13.直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)√12345678910111213141516解析由y＝mx－3m＋2，得y－2＝m(x－3)，所以直线必过点(3,2).
14.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为______________________________.4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0解析由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0(c≠0)，得c2＝122，c＝±12，∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.12345678910111213141516
15.(多选)若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为A.1B.－1C.－2D.2√12345678910111213141516拓广探究√
解析当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2.当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，由题意知，当a＝0时，直线l与x轴无交点，与在y轴上的截距2＋a相等，综上知，a＝－2或1.所以直线l的斜率为－1或2.12345678910111213141516
16.已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.12345678910111213141516
解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线y－1＝0上，∴设B点坐标为(x，1).又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，∴B点坐标为(5,1).12345678910111213141516
12345678910111213141516同理可求出C点的坐标是(－3，－1).故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.
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