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第一章空间向量与立体几何
1.若平面α与β的法向量分别是a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，则平面α与β的位置关系是A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断√基础巩固12345678910111213141516解析∵a＝(1,0，－2)，b＝(－1,0,2)，∴a＋b＝0，由此可得a∥b，∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行.
2.已知直线l的方向向量a＝(－1,2,4)，平面α的法向量b＝(－2,4,8)，则直线l与平面α的位置关系是A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l∈α√12345678910111213141516解析∵b＝2a，∴则b与a共线，可得，l⊥α.
A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内√12345678910111213141516则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
4.(多选)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为√12345678910111213141516√
解析设D(x，y，z)，又DB⊥AC⇔－x＋z＝0，①DC⊥AB⇔－x＋y＝0，②AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2，③12345678910111213141516
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是A.重合B.垂直C.平行D.无法确定√12345678910111213141516
6.如图，在正三棱锥S－ABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是_____，平面SAD的一个法向量可以是_____.12345678910111213141516解析由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD.
7.若a＝(2x，1,3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝___，y＝____.12345678910111213141516
8.已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为____________.12345678910111213141516
解析设M(x，y，z)，12345678910111213141516
9.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.12345678910111213141516求证：AB1⊥平面A1BD.
证明如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，OB，OO1，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，12345678910111213141516
又因为BA1∩BD＝B，BA1，BD⊂平面A1BD，所以AB1⊥平面A1BD.12345678910111213141516
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：12345678910111213141516(1)MN∥平面CC1D1D；
建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1).由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.12345678910111213141516
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.12345678910111213141516
12345678910111213141516即MP∥DC.由于MP⊄平面CC1D1D，DC⊂平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，MN，MP⊂平面CC1D1D，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.设平面MNP的法向量为n＝(x，y，z)，
12345678910111213141516所以取n＝(1,0,0)，所以平面MNP∥CC1D1D.
11.已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2，4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为A.AB⊥αB.AB⊂αC.AB与α相交但不垂直D.AB∥α√12345678910111213141516综合运用又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α.
12.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC＝2，E是PC的中点，则CD与AE的位置关系______.12345678910111213141516垂直
解析以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，12345678910111213141516所以CD⊥AE.
13.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为_____.12345678910111213141516
解析以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，∵DP∥平面B1AE，12345678910111213141516
12345678910111213141516
14.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.12345678910111213141516a或2a
解析建立空间直角坐标系，如图所示，要使CE⊥平面B1DE，即B1E⊥CE，12345678910111213141516
15.如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝____.12345678910111213141516拓广探究2
解析如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a，0)，设Q(1，x，0)(0≤x≤a)，P(0,0，z)，12345678910111213141516由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0，由题意知方程x2－ax＋1＝0只有一解.∴Δ＝a2－4＝0，a＝2，这时x＝1∈[0，a]，满足题意.
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.12345678910111213141516(1)求证：CD⊥平面PAC；
证明因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).12345678910111213141516
12345678910111213141516所以AP⊥CD，AC⊥CD.又因为AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC.
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2).因为BE⊄平面PCD，所以BE∥平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.12345678910111213141516
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