资料简介
第一章1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 空间中点的位置向量如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
知识点二 空间中直线的向量表示式直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
思考直线的方向向量是不是唯一的？答案直线的方向向量不是唯一的，它们都是共线向量.解题时，可以选取坐标最简的方向向量.
知识点三 空间中平面的向量表示式1.平面ABC的向量表示式我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.2.平面的法向量如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}.
思考平面的法向量是不是唯一的？答案一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线.在应用时，可以根据需要进行选取.
思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反.()2.平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量.()3.直线的方向向量是唯一的.()√××
2题型探究PARTTWO
一、直线的方向向量例1(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于√∴－1＝2k,2－y＝－k，z－3＝3k.∴y－z＝0.
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_____________，直线BC1的一个方向向量为________.(不唯一)(0,0,1)(0,1,1)直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；故直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
反思感悟理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量.(2)直线的方向向量不唯一.
跟踪训练1(1)(多选)若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是A.(2,2,6)B.(1,1,3)C.(3,1,1)D.(－3,0,1)√√故向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l的一个方向向量.
(2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为√即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，所以x＝18，y＝17，z＝－17.
二、求平面的法向量例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
延伸探究本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
解如图所示，建立空间直角坐标系，即直线PC的一个方向向量.设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).
反思感悟求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如；(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
跟踪训练2已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量.解设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)，故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
3随堂演练PARTTHREE
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)√12345
2.已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若a∥b，则x，y的值分别是A.6和－10B.－6和10C.－6和－10D.6和10√12345所以x，y的值分别是6和－10.
3.若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是A.(0，－3,1)B.(2,0,1)C.(－2，－3,1)D.(－2,3，－1)√12345解析求与n共线的一个向量.易知(2，－3,1)＝－(－2，3，－1).
4.(多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是√12345√
5.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________.12345x＋2y－3z＝0故x＋2y－3z＝0.
1.知识清单：(1)直线的方向向量.(2)平面的法向量.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.已知向量a＝(2,－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是A.－1B.1或－1C.－3D.1√基础巩固12345678910111213141516
2.已知平面α的一个法向量是(2，－1，－1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是A.(4,2，－2)B.(2,0,4)C.(2，－1，－5)D.(4，－2，－2)√12345678910111213141516解析∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，故选D.
解析∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.故选项B成立，选项A和D显然成立.故选C.√12345678910111213141516
4.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是A.(1,1，－1)B.(1，－1,1)C.(－1,1,1)D.(－1，－1，－1)√12345678910111213141516取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1).
5.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)√12345678910111213141516√
又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；∴(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量，∴C正确；∴(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，即D不正确.12345678910111213141516
6.已知平面ABC，且A(1,2，－1)，B(2,0，－1)，C(3，－2,1)，则平面ABC的一个法向量为__________________.12345678910111213141516(2,1,0)(答案不唯一)令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0).
7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为______.即(2cosx＋1)·cosx＋(2cos2x＋2)·(－1)＝0.∵x∈[0，π]，12345678910111213141516
8.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1).其中正确的是________.(填序号)12345678910111213141516①②③
12345678910111213141516
解∵B(2,0,0)，C(0,2，－2)，9.已知A(2,2,2)，B(2,0,0)，C(0,2,－2).(1)写出直线BC的一个方向向量；12345678910111213141516
(2)设平面α经过点A，且BC是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式.12345678910111213141516∴(－2,2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.化简得x－y＋z－2＝0.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量.12345678910111213141516
证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，12345678910111213141516
11.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交12345678910111213141516综合运用√所以AB∥平面yOz.
12.已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是√12345678910111213141516
解析要判断点P是否在平面α内，12345678910111213141516因此，要对各个选项进行检验.同理可排除C，D.故选B.
把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.13.已知直线l过点P(1,0，－1)且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是√12345678910111213141516
123456789101112131415162∶3∶(－4)
∵a是平面α的一个法向量，12345678910111213141516
12345678910111213141516拓广探究①②③
12345678910111213141516∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.
16.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量.12345678910111213141516
解以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，12345678910111213141516设n＝(x，y，z)为平面SDC的一个法向量，
取x＝2，得y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1,1).12345678910111213141516
查看更多
