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人教2019A版选择性必修一第二章直线和圆的方程
学习目标1.理解圆的一般方程及其特点2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.问题导学
问题思考
探究新知一、圆的一般方程
1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.2.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).归纳总结
3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?小试牛刀1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是.答案:(3,0)2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=.答案:4答案:(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.
例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.典例解析解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),
(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),
二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.归纳总结
跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.跟踪训练
例2圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.典例解析
圆的方程的求法求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.归纳总结
跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是.解得D=E=-4,F=-2,即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案:x2+y2-4x-4y-2=0跟踪训练
例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.解:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得典例解析
又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以
变式：求本例中线段AC中点M的轨迹方程.解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,
求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.归纳总结
跟踪训练3两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4跟踪训练
.跟踪训练4已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,∴A为线段MB的中点,化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
跟踪训练5已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.
1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为()A.圆心为(1,2)的圆B.圆心为(2,1)的圆C.圆心为(-1,-2)的圆D.不表示任何图形当堂检测解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.答案:D
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于()答案:B
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是.整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.答案:x2+y2-8x=0
4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
课堂小结
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