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人教版高中数学选择性必修第一册2.4.2《圆的一般方程》教学设计(含答案)

2022-09-22
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2.4.2圆的一般方程本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习圆的一般方程。本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。明确圆的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法及与圆有关的轨迹问题。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。课程目标素养A.理解圆的一般方程及其特点.B.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.C.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．1.数学抽象：二元二次方程与圆的一般方程2.逻辑推理：圆的一般方程与标准方程的互化3.数学运算：求圆的一般方程4.数学建模：圆的一般方程的特点重点：掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.二、探究新知例如,对于方程对其进行配方，得,因为任意一点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.一、圆的一般方程（1）当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(-,-)为圆心,为半径的圆,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得（2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-,-)（3）当D2+E2-4F0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 . 答案:(3,0)2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F= . 答案:43.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?答案:(1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.一、典例解析例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),通过对圆的一般方程的讨论，帮助学生总结圆的一般方程的特点。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。半径为r=|m-2|.(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m-2|.二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.(2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断.跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m0),把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组解得所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。本节课在学生学习了圆的标准方程的基础上，探究圆的一般方程及其特点。教学中，注重问题导向，给学生充分的探究时间和空间，培养学生的探究能力，落实提升学生能力，注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。查看更多

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