资料简介
2.2.3直线的一般式方程本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.课程目标素养A.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.1.数学抽象：一般式方程与二元一次方程的关系2.逻辑推理：直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化3.数学运算：运用直线的一般式方程解决有关问题4.直观想象：直线与方程的关系1.教学重点：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式
2.教学难点：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、问题导学问题：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.(1)斜率是1,经过点A(1,8);(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.(1)y-8=x-1;(2)=1;(3);(4)y=x+7.如果我们画出这4条直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为二、探究新知1.直线的一般式方程(1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_____________；任何关于x，y通过求解4个条件下的直线方程，体会不同直线方程的适用条件，及时提出问题，让学生体会学习直线方程一般式的必要性。
的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直线方程的一般式．二元一次方程;一条直线;Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)(2)．直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．2.直线的一般式方程与其他形式的互化1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.答案:当A=0时,方程变为y=-,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;化为截距式为 . 理解直线一般式的方程特点，能进行直线方程间的互化。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-x-;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即=1.答案:y=-x-;=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:(1)x+2y-7=0;2x+4y-7=0.(2)4x-y+3=0,3x+12y-11=0.解:(1)∵1×4-2×2=0且2×(-7)-4×(-7)≠0,∴两直线平行.(2)∵4×3+(-1)×12=0,∴两直线垂直.三、典例解析例1根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线一般式的理解和应用。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5),化为一般式方程为x-y+3-5=0.(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,化为一般式方程为4x-y-2=0.(3)由两点式方程可知,所求直线方程为,化为一般式方程为2x+y-3=0.(4)由截距式方程可得,所求直线方程为=1,化为一般式方程为x+3y+3=0.直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.跟踪训练1根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是-,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;通过典例解析，进一步灵活运用直线一般式，并能合理选择直线的方程形式，解决相关问题。
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).解:(1)由点斜式方程,得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0.(2)由点斜式方程,得y-2=0.(3)由截距式方程,得=1,即2x-y-3=0.(4)由两点式方程,得,即x+y-1=0.【例2】(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,故m的值为2或-3.(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.所求直线方程为3x+4y-14=0.(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,所以直线方程为4x-3y-2=0.1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.跟踪训练2已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足(1)过点(-1,3),且与l平行;(2)过点(-1,3),且与l垂直.思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.解:(方法1)由题设l的方程可化为y=-x+3,∴l的斜率为-.(1)∵直线l'与l平行,∴l'的斜率为-.又∵直线l'过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,∴l'的斜率为,又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.(方法2)(1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.∴所求直线方程为4x-3y+13=0.金题典例(1)设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．(2)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：①直线l的斜率为－1；②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.解析：(1)[1，＋∞) 把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a≥1.所以a的取值范围为[1，＋∞)．(2)①因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.由题意得－＝－1，解得k＝5.②直线l的方程可化为＋＝1.由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.变式探究：1.典例(1)中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l
不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．即解得a＞1.由(1)(2)可知a≥1.2．若典例(1)中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？[解] 把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即解得a≤－2. 直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标.(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( )答案 (1)√ (2)√(3)× 当C＝0时，直线与y轴重合．(4)× 当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
解析:当a0时,直线ax-by=1在x轴上的截距0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y＝2＝0D．x＋2y－1＝0答案A 解析：设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把点(1,0)代入可求得c＝－1.所以所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A.4．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.答案：1或－3 解析：依题意得：a(a＋2)＝3×1，解得a＝1或a＝－3.5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．解析：(1)由解得m＝2，若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.(2)由－＝1，解得m＝0.四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。通过小组合作自我探究，以及例题和练习题的讲解，深入理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线方程．本节课以学生为主体，围绕学生展开教学，在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的引路人。大部分内容都是安排学生讨论，并适当增加练习，使学生能更好地掌握直线方程，而不是仅停留在观念上。本课通过“创设情境，提出问题，激发兴趣→新知引入→新知探究→当堂反馈→归纳总结→课后作业”的过程从而完成教学目标。
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