资料简介
3.3.2抛物线的简单几何性质（1）本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习抛物线的简单几何性质《抛物线的简单几何性质》是人教A版选修2-1第二章第四节的内容。本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.课程目标素养A.掌握抛物线的简单几何性质.B.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.C.掌握直线与抛物线位置关系的判断。1.数学抽象：抛物线的几何性质2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质3.数学运算：运用抛物线的方程推导其几何性质4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用重点：抛物线的简单几何性质及其应用难点：直线与抛物线位置关系的判断多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标
一、问题导学类比用方程研究椭圆双曲线几何性质的过程与方法，①你认为应研究抛物线的哪些几何性质，如何研究这些性质？1.范围抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x,y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．2.对称性观察图象，不难发现，抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴． 3.顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)．4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e=1．探究如果抛物线的标准方程是通过，类比椭圆和双曲线的几何性质的学习过程，学习抛物线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。
②③④那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？抛物线四种形式的标准方程及其性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=11.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的;(4)焦点到准线的距离均为p.
其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.1.判断(1)抛物线关于顶点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )答案:(1)× (2)√ (3)√2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C问题思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?通过抛物线几何性质的讨论，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.二、典例解析例3.已知轴，顶点是坐标原点，并且经过点M求它的标准方程。解：因为轴，它的顶点在原点，并且经过点M，所以可设它的标准方程为因为点M解得=因此，所求抛物线的标准方程是顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程。跟踪训练1.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.错解:由y=mx2(m≠0)可知其准线方程为y=-.由题意知-=-2,解得m=8,故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.
正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=y,其准线方程为y=-.由题意知-=-2或-=4,解得m=或m=-,故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为，即，①将方程①代入抛物线方程，化简得，解这个方程，得，，将，代入方程①中，得，，即A(，)，B(，)，∴.解：方法二：由抛物线的定义可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|=x2＋1，于是|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋x2＋2．在方法一中得到方程x2－6x＋1=0后，根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6，于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．方法三：抛物线y2＝4x中2p＝4，直线的倾斜角为，所以焦点弦长.通过典型例题，熟练掌握根据几何条件求抛物线的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x（或y的）方程组：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C为常数.若A=0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；若A≠0，计算判别式Δ＝B2－4AC：若Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若Δ=0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；若Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.跟踪训练2 (1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．[思路探究] (1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意．(2)→→分类讨论方程有一解时a的取值[解] (1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.故满足条件的直线有三条．(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0 ①.通过典型例题，熟练掌握直线与抛物线的位置关系的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.所以原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.三、达标检测1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )A． B．C．D．A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.]2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )A．(4，±2) B．(±4，2)C．(±2,4)D．(2，±4)D [抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有⇒⇒所以符合题意的点为(2，±4)．]3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________． [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝.∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝.]4.已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),代入y2=8x得m2=24,所以m=2或m=-2,所以A(3,2),B(3,-2),所以|OA|=|OB|=,所以△OAB的周长为2+4.5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．[解] (1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝.∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，解得k＝±1，所以k的值为1或－1.四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
五、课时练学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。在教师的指导下能够主动与同学探究、发现、归纳数学知识。
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