资料简介
3.2.2双曲线的简单几何性质(1)本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学课程目标素养A.掌握双曲线的简单几何性质.B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.1.数学抽象：双曲线的几何性质2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质4.直观想象：双曲线的几何性质重点：运用双曲线的方程获得几何性质难点：双曲线的渐近线及离心率的意义多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标
一、问题导学类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线(>0，>0)，的哪些几何性质，如何研究这些性质？1、范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程可得于是，双曲线上点的坐标（，）都适合不等式，所以或;2、对称性(>0，>0)，关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.顶点是（2）如图，线段类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。
叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长。（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线4、渐近线（1）双曲线(>0，>0)，的渐近线方程为：（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图4、渐近线慢慢靠近
5、离心率（1）定义：e=（2）e的范围：e>1（3）e的含义：因为另外，注意到=,说明越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.如果双曲线C的标准方程是(>0，>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？双曲线的几何性质标准方程图形标准方程性质范围x≤-a或x≥ay∈Ry≤-a或y≥ax∈R对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点顶点坐标A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)
轴实轴:线段A1A2,长:2a;虚轴:线段B1B2,长:2b;半实轴长:a,半虚轴长:b渐近线y=±y=±离心率a,b,c间的关系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)(1)双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线椭圆曲线两支曲线封闭的曲线顶点两个顶点四个顶点轴实、虚轴长、短轴渐近线有渐近线无渐近线离心率e>100)的形状相同.( )(2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.( )答案:(1)√ (2)× (3)√2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为( )A.-5 B.-35C.19D.-11通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养
解析:由圆锥曲线=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,所以m0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为=1(m>0,n>0),由此可知,半实轴长a=,半虚轴长b=,c=,
焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e=,顶点坐标为(-,0),(,0),所以渐近线方程为y=±x,即y=±x.例2根据以下条件,求双曲线的标准方程.(1)过点P(3,-),离心率为;(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),∵e=,∴=2,即a2=b2.①又双曲线过P(3,-),∴=1,②由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1.若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),同理有a2=b2,③=1,④由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,
∴焦点是F1(-,0),F2(,0).因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).设双曲线方程为=1(a>0,b>0),由已知条件,有解得∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.(3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,∴双曲线方程为,即双曲线的标准方程为=1.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b20),由题意知2b=8,e=,从而b=4,c=a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为=1.(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.三、达标检测1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为( )A.4B.-4C.-D.解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m
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