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3.1.1椭圆及其标准方程导学案1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程难点：运用标准方程解决相关问题1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这_______叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c21.a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )A.=1 B.=1C.=1D.=1或=1
2.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )A.5B.6C.7D.83.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )A.(±,0)B.(0,±)C.D.一、情境导学椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。探究取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？一般地，如果椭圆的焦点为，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足，=2其中>>0.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，此时,椭圆的焦点分别为（,0）椭圆的标准方程=2.①①，我们将其左边一个根式移到右边，得得对方程两边平方，得=整理，得=③对方程③两边平方，得=整理得④将方程④两边同除以，得⑤由椭圆的定义可知>>0，即>>0，所以.观察图，你能从中找出表示，的线段吗？由图可知，=，=c
令,那么方程⑤就是；(>>0)⑥称焦点在轴上的椭圆方程.设椭圆，焦距为2，而且椭圆上的动点P满足=2其中>>0.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？（2）能否通过(>>0)来得到此时椭圆方程的形式？(>>0),称焦点在轴上的椭圆方程.一、典例解析例1求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；(3)经过两点(2，－)，.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．跟踪训练1．求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．例2 (1)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．典例解析1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．跟踪训练2．已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程．
1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )A．5 B．6 C．7 D．82．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( )A．1B．2C．3D．43．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．4．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.参考答案：知识梳理1.常数(大于|F1F2|);两个定点;两焦点间的距离;一半思考：[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．小试牛刀：解析:(1)易得为D选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.(3)∵椭圆的标准方程为=1,∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,
∴焦点坐标为.(3)∵椭圆的标准方程为=1,∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,且焦点在x轴上,∴焦点坐标为.学习过程例1[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.所以椭圆的标准方程为＋＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.所以椭圆的标准方程为＋＝1.(3)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由已知条件得解得则a2＜b2，与a＞b＞0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得
解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.跟踪训练1．[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16 ①.又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1 ②.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为＋＝1.又椭圆过点(3，)，将x＝3，y＝代入方程得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.例2 [思路探究] (1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x2＋＝1 [设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1，所以＋＝1，即x2＋＝1.](2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，∴|CM|＋|MA|＝5.∴点M的轨迹为椭圆，其中2a＝5，焦点为C(－1,0)，A(1,0)，∴a＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝－1＝.
∴所求点M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1.跟踪训练2．[解] 设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．利用中点坐标公式，得∴∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.达标检测1．D [根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.]2．B [椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.]3．[由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1.]4．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a＝4，a2＝4，∵点是椭圆上的一点，∴＋＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．5.解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,
则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,故a=,b2=a2-c2=-1=.故点M的轨迹方程为=1.
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