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证明两条线平行 怎么证明两条线平行 假如不平行，就会有一个焦点，那么这个焦点和两个垂足会构成一个三角形，这个三角形的内角有2个90度，那么内角和就比180度大了，所以是错的，所以…… 设线段为ab，垂直于ab的两条线为cd，ef，分别交ab于g，h点 假设cd，ef不平行，则他们会有交点，设为o点， 则图中有三角形ogh出现，又og和oh都垂直于ab，所以〈ogh=90度，〈ohg=90度，〈ogh+〈ohg+〈goh必定大于180度，而三角形内角和却是180度，于事实矛盾，所以垂直于同一条线段的两条线相互平行. 假设，垂直于直线l的两条直线a,b相交于直线l外一点a。 直线a在直线l上的垂足为m,直线b在直线l上的垂足为n，则点a,m,n组成三角形。 因为直线a,b垂直于直线l，所以，角amn与角anm为90度， 这与三角形定义相矛盾 所以，垂直于同一条线段的两条线相互平行.
不妨设：垂直于同一条线段的两条线不平行，那么，这两条直线必定有一个交点o，所以，这三条直线必定会组成一个三角形，那么角o必定是一个存在的角(即角o有实际度数)那么根据在三角形中一个外角等于不相邻的两内角的和，(因为两条直线垂直于同一条直线，所以)外角=90°，其中不相邻的一个内角也为90°，那么90°+角o(存在的角度)=90°，是不成立的，因此：垂直于同一条线段的两条线相互平行 假设是ab和cd，不妨令ab 把他们放在平行的位置 连接ac和bd并延长交于e 则在ab上任取1点f，连接ef和cd都有唯一的交点 反之，在cd上任取1点g，连接eg和ab都有唯一的交点 即两线段上的点可以建立一一对应的关系 所以点数相同 用两条直线将一个平行四边形分成面积相等的4份有无数种分法。 最常用的两种用尺规法分割的方法是： (1)、连接两条对角线。两条对角线分割成的4部分就是面积相等的4部分。 (2)、找出四条边的中点，分别连接相对两边的中点。这两条相交直线分割成的4部分就是面积相等的4部分。 以上两种方法是用尺规法可以完成的，还有无数种分割法比较复杂，原理是这样的： 连接两条对角线后找到它们的交点o，过o作任意直线分平行四边形为两份。 不难发现这两部分是面积、形状完全相等的两个梯形。 过o作其中一个梯形的中位线，那么梯形被分成面积不相等的两份(注意，是不相等的两份)。
假设中位线与梯形另一边(即原平行四边形的一边)的交点是动点，那么当这个动点在向梯形较长底边运动的过程中，原本面积较大的部分面积逐渐减小，而原本面积较小的部分面积逐渐变大。当运动到某一点的时候，存在两部分面积相等的情况。 根据对称性，这个平行四边形被分成了面积相等的4份。 但是，第二条直线的位置的确定，需要根据平行四边形的实际情况和先作出的那条任意直线的情况不同而定，所以我还没找出一个通用的公式。 高中立体几何证明平行的专题训练 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： ?1?通过平移; ?2?利用三角形中位线的性质； ?3?利用平行四边形的性质； ?4?利用对应线段成比例； ?5?利用面面平行，等等 一．通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图，四棱锥p－abcd的底面是平行四边形，点e、f分别为棱ab、pd的中点．求证：af?平面pce 第1题图 2、如图，已知直角梯形abcd中，ab?cd，ab?bc，ab＝1，bc＝2，cd＝1a作ae?cd，垂足为e，g、f分别为ad、ce的中点，现将?ade沿ae折叠，使得de?ec. ?ⅰ?求证：bc?面cde；
?ⅱ?求证：fg?面bcd； 3.已知直三棱柱abc－a1b1c1中，d,e,f分别为aa1,1,ab的中点，m为be 的中点,ac?be.求证： ?ⅰ?c1d?bc； ?ⅱ?c1d?平面b1fm. 4、如图所示,四棱锥pabcd底面是直角梯形,cd?2ab,e为pc的中点, 证明:eb?面pad 二．利用三角形中位线的性质 5、如图，已知e、f、g、m分别是四面体的棱ad、cd、bd、bc的中点，求证：am∥平面efg。 6.如图，abcd是正方形，o是正方形的中心，e是pc的中点。求证：pa?平面bde 7.如图，三棱柱abc—a1bc中，d为ac的中点.求证：ab1//面bdc1；11 8.如图，平面abef?平面abcd，四边形abef与abcd都是直角梯形，?bad??fab?90?， 11bc?ad，be?af,g,h分别为fa,fd的中点 ?2?2 ?ⅰ?证明：四边形是平行四边形； ?ⅱ?四点是否共面？为什么？ e 三．利用平行四边形的性质
9.正方体abcda1b1c1d1中o为正方形abcd的中心，m为bb1的中点，求证：d1o//平面a1bc1; a 10.在四棱锥p?abcd中，ab?cd，ab?dc，为.epd的中点，求证：ae?平面pbc； 11.在如图所示的几何体中，四边形abcd为平行四边形，?acb?90?ea?平面abcdef//ab,fg//bc,eg//ac,ab?2ef ?1?若m是线段ad的中点，求证：gm//平面abfe; ?2?若ac?bc?2ae，求二面角a-bf-c的大小。 四．利用对应线段成比例 12.如图：s是平行四边形abcd平面外一点，m、n分别是sa、bd上的点，且ambn=，求证：mn//平面sdcsmnd 13.如图正方形abcd与abef交于ab，m，n分别为ac和bf上的点且am?fn求证：mn?平面bec 五。利用面面平行 14.如图，三棱锥p?abc中，pb?底面abc，?bca?90，pb?bc?ca，e为pc的中点，m为ab的中点，点f在pa上，且af?2fp. （1）求证：be?平面pac； （2）求证：cm //平面bef；? c 北师版八上7单元测试 一、填空题
1、如图1，直线ab、cd被直线ef所截①量得∠3=100°，∠4=100°,则ab与cd的关系是_______，根据是_____________ ②量得∠1=80°,∠3=100°,则ab与cd的关系是_______，根据是________________ 2、如图2，be是ab的延长线，量得∠cbe=∠a=∠c①从∠cbe=∠a，可以判定直线_______与直线_______平行，它的根据是___________ ②从∠cbe=∠c，可以判定直线_______和直线_______平行，它的根据是___________ 图 1图2 图3图4 3、如图3，∠α=125°,∠1=50°，则∠β的度数是_______. 4、如图4，ad、be、cf为△abc的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3=________. 5、已知，如图5，ab∥cd，bc∥de，那么∠b+∠ d=__________. 6、已知，如图6，ab∥cd，若∠abe=130°,∠cde=152°, 则∠bed =__________. 图 5图6 7、在△abc中，若∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶3，则∠a=____， ∠b=____，∠c=____.
8、在△abc中，若∠a=65°,∠b=∠c，则∠b=_______. 9、命题“任意两个直角都相等”的条件是_____，结论是 _____，它是____（真或假）命题. 10、如图7，根据图形及上下文的含义推理并填空： （1）∵∠a=_______（已知）∴ac∥ed（） （2）∵∠2=_______（已知） ∴ac∥ed（） （3）∵∠a+_______=180°（已知）∴ab∥fd（） 图7图8 二、选择题 1.下列语言是命题的是() a.画两条相等的线段b.等于同一个角的两个角相等吗？ c.延长线段ao到c使oc=oad.两直线平行，内错角相等. 2.如图8，△abc中，∠b=55°,∠c=63°,de∥ab,则∠dec 等于a.63°b.62°c.55°d.118° 3.下列语句错误的是() a.同角的补角相等b.同位角相等c.同垂直于一条直线的 两直线平行d.两条直线相交只有一个交点 4、在△abc中，∠a=50°，∠b、∠c的平分线交于o点， 则∠boc等于（）a.65°b.115°c.80°d.50 5、两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线 a.相互重合b.互相平行c.相互垂直d.无法确定相互关系 6、如图9，ab∥cd，∠a=35°,∠c=80°,那么∠e等于（） a.35b.45°c.55°d.75°
三、判断下列命题是真命题还是假命题. （）（1）若|a|=|b|，则a=b;（）（2）若a=b，则a3=b3; （）（3）若x=a，则x2－(a+b)x+ab=0;（4）如果a2=ab,则a=b;（）（5）若x＞3，则x＞2. 四、把下列命题写成“如果??，那么??”的形式，并指出条件和结论. （1）全等三角形的对应角相等；（2）等角的补角相等； （3）同圆或等圆的半径相等；（4）自然数必为有理数； （5）同角的余角相等；（6）两直线平行，同位角相等； 五、解答下列问题 1、如图，一个弯形管道abcd的拐角∠abc=120°,∠bcd=60°,这时说管道ab∥cd对吗？为什么？ 2、如图，已知∠1与∠2互补，问∠3和∠4互补吗？为什么？ 六、在横线或括号中填上适当的符号和理由，完成下面的证明过 （1）如图10，已知ef∥ab，∠a+∠aec+∠c=360°求证：ab∥cd 证明：∵ef∥ab（已知）∴∠a+_______=180°又∵∠a+∠aec+∠c=360°()∴∠c+∠cef=_______() ∴_______∥cd()∴ab∥cd() (2)如图11，已知∠ade=∠b，∠1=∠2，fg⊥ab， 求证：cd⊥ab 证明：∠ade=∠b（） ∴de∥_______() ∠1=_______()
∵∠1=∠2( ∴∠2=∠3( cd∥_______( ∠bgf=_______( 又∵fg⊥ab( ∴∠bgf=_______( ∴∠bdc=_______( ∴cd⊥ab( 图10图11)))))))) 七、证明题 1.已知，如图，ad⊥bc，ef⊥bc，∠4=∠c. 求证：∠1=∠2. 2、已知，如图，∠ace是△abc的外角，∠abc与∠ace的角平分线bp、cp交于点p.。求证：∠p=1∠a.2 初二平行四边形的应用 1.如图，□abcd中，ae、cf分别与直线db相交于e和f,且ae//cf,求证：ce//af. c a 2..如图，□abcd中，bm垂直ac于m,dn垂直ac于n,求证：四边形bmdn是平行四边形。 c a
3.如图，□abcd中，点m、n是对角线ac上的点，且am=,de=bf,求证：四边形mfne是平行四边形。 e c a 4.如图，ab、cd相交于点o,ac//db,ao=bo,e、f分别为oc、od的中点，连接af、be,求证：af//be. a c d 5.在四边形abcd中，ab//cd,对角线ac、bd交于点o，ef过o交ab于e，交cd于f，且oe=of，求证，abcd是平行四边形。 d b 6.如图，过□abcd对角线的交点o作直线ef交ad、bc分别于e、f，又g、h分别为ob、od的中点，求证：四边形ehfg为平行四边形。 ae d b 7.如图，在□abcd中，e、f、g、h分别是四条边上的点，且满足be=df,cg=ah,连接ef、gh。求证：ef与gh互相平分。 af db e
8.如图，以△abc的三条边为边向bc的同一侧作等边△abp、等边△acq，等边△bcr，求证：四边形paqr为平行四边形。 p q 9.如图所示，平行四边形abcd中，bc=2ab，af=ab=be，且点e、f在直线ab上，求?(：)eof的度数．c f ab e 证明平行的方法 高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。
线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。 2 方法1： 两组对边分别平行方法2：对角线互相平分方法3：一组对边平行且相等楼上的：试问 两组对边相等 3
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。 在空间中一定是平行四边形吗? 4 证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。 内容仅供参考
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