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3.3.3~3.3.4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离课后篇巩固提升1.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( ) A.4B.21313C.51326D.71020解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,∴63=m1≠1-3,解得m=2.∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0.∴两条直线之间的距离为d=|-6-1|62+22=71020.答案D2.已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为55,则点A的坐标为( )A.(0,-2)B.(2,4)C.(0,-2)或(2,4)D.(1,1)解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得|2(1+t)-(1+3t)-1|22+1=55,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选C.答案C3.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0解析(法一)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知|2-3-6|22+32=|2-3+C|22+32,解得C=-6(舍去)或C=8.故所求直线的方程为2x+3y+8=0.(法二)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.
答案D4.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时,m的值为( )A.2B.0C.-1D.1解析直线mx-y+1-2m=0过定点Q(2,1),所以点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时PQ垂直于直线mx-y+1-2m=0,即m·2-13-2=-1,所以m=-1,故选C.答案C5.过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程为( )A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0解析由已知得,所求直线过(1,2),且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线,∴所求直线的斜率k=-12,∴y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.答案A6.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有 条. 解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由|-k+3|1+k2=1得,k=43,所以直线方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.答案27.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于7510,且直线l1不经过第四象限,则a= . 解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为|-2a-1|42+(-2)2=7510,整理得|2a+1|25=7510,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.答案38.已知两条平行直线l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0间的距离为2,则b+c= . 解析将l1:3x+4y+5=0改写为6x+8y+10=0,因为两条直线平行,所以b=8.由|10-c|62+82=2,解得c=30,或c=-10,所以b+c=38或b+c=-2.答案38或-2
9.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为 . 解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.∵点A,B到l的距离相等,∴|-2k+1-k|k2+1=|4k-5-k|k2+1,∴|1-3k|=|3k-5|,解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0.综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.答案x=1或x-y-1=010.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).(1)判断△ABC的形状;(2)当BC边上的高为1时,求m的值.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=32,直线AC的斜率为kAC=-23,所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.(2)解方程组3x-2y+6=0,2x+3y-22=0,得x=2,y=6,即A(2,6).由点到直线的距离公式得d=|3×2+4×6-m|32+42=|30-m|5.当d=1时,|30-m|5=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.所以m的值为25或35.11.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为35,求点P的坐标;(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.解(1)依题意可设P(t,t),由|2t+t-3|5=35,得|t-1|=5,解得t=-4或t=6,所以点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).(2)由l2∥l3得a=-4,∴l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.∴l2与l3的距离d=|-3-(-2)|5=55.12.
(选做题)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(-1,5),B(-2,-1),C(2,3).(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标;(2)在△ACD中,求CD边上的高所在直线方程;(3)求四边形ABCD的面积.解(1)依题意得,线段AC中点为12,4,点12,4也为线段BD中点,设D(x,y),因为B(-2,-1),则可得D(3,9).(2)因为kCD=6,所以CD边上的高的斜率为-16,又CD边上的高过点A,所以CD边上的高所在的直线方程为y-5=-16(x+1),即y=-x6+296;(3)因为BC:x-y+1=0,所以点A(-1,5)到BC的距离为|-1-5+1|2=522,又因为BC=42,所以四边形ABCD的面积为522×42=20.
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