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《点到直线距离》课件（经典版）

2022-09-27
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3.3.3点到直线的距离两点间距离公式xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)Q(x2,y1)O 问题：点到直线的距离是怎样定义的?·点到直线的距离的定义：过点作直线的垂线，垂足为点，线段的长度叫做点到直线的距离．· lP.oxy:Ax+By+C=0(x0,y0)点到直线的距离Q POyxlQP（x0，y0）l:Ax+By+C=0问题：求点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离？ xyP0(x0,y0)O|y0||x0|x0y0【特殊情形1】点到坐标轴的距离0 点到直线距离【特殊情形2】xyP0(x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y0y1x10 oxyPQ·l··推导思路1:①求垂线方程②求交点坐标③求两点间的距离求点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。其中A≠0且B≠0此方法思路自然，但运算较为繁琐．【一般情形】0 若直线不平行于坐标轴(即A≠0且B≠0),由可得它的斜率是直线ＰＱ的方程是即与联立，解得思路二：间接法xyO面积法求出求出求出利用勾股定理求出点到直线的距离SR求出点的坐标R求出点的坐标S 思路二：P(x0,y0),l:Ax+By+C=0,设AB≠0,OyxldQPRS OyxldQPRS由三角形面积公式可得：A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离．注：在使用该公式前，须将直线方程化为一般式． xyoP0(x0,y0)Q.xyoP0(x0,y0)Q. 例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0；②3x=2;③2y+3=0的距离。解：①根据点到直线的距离公式，得②如图，直线3x=2平行于y轴，Oyxl:3x=2P(-1,2)用公式验证，结果怎样？解：③如图，直线2y+3=0平行于x轴，用公式验证，结果怎样？yOxl:2y+3=0P(-1,2) 练习1.求下列点到直线的距离：点到直线的距离为0表示什么？练习2:求下列点到直线的距离:(1)O(0,0),3x+2y-26=0；(2)A(-2,3),3x+4y+3=0;(3)B(1,0),(4)C(1,-2),4x+3y=0.答案: 例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积．xyo123123-1ABCh 练习2.直线l经过原点，且点M(5,0)到直线l的距离等于3，求l的方程1.动点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值为（）2.1.C答案：A.B.2D.4C. 解：设P(x,0),根据P到l1、l2距离相等，列式为=解得：所以P点坐标为：P在x轴上,P到直线l1:x-y+7=0与直线l2:12x-5y+40=0的距离相等,求P点坐标。3.典型例题 4.在抛物线y=4x2上求一点P,使P到直线l:y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.典型例题解:依题意设P(x,4x2),则P到直线l:4x-y-5=0的距离为 5直线l经过点P（－2，1）,且A（-1，3）到l的距离等于1,求直线l的方程．解：①若l的斜率不存在，则l的方程为：x=-2,显然符合要求。②若l的斜率存在，设为k，则l的方程为：y-1=k(x+2),即：kx-y+2k+1=0由A到l的距离为1得：所以k=综上所述，所求直线方程为：x=-2，或3x-4y+10=0 6.练习△ABC中，A(3，3)，B(2，-2)，C(-7，1)，求∠A的平分线AD所在直线的方程。解：由已知可求的AC边所在的直线方程为x-5y+12=0AB边所在的直线方程为5x-y-12=0，设M(x,y)为∠A的平分线AD上任意一点。由角平分线的定义得：整理得：y=-x+6或y=x结合图形可知：故∠A的平分线AD所在直线的方程是y=x。小结：1.点到直线距离公式：注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；2.当A=0或B=0(直线与坐标轴垂直)时，仍然可用公式，这说明了特殊与一般的关系. 3.3.4《两平行线间的距离》例3：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。Oyxl2:2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0P(3,0)两平行线间的距离处处相等在l2上任取一点，例如P(3,0)P到l1的距离等于l1与l2的距离❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离任意两条平行直线都可以写成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0Oyxl2l1PQ思考：任意两条平行线的距离是多少呢？注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为对应相同的形式。（两平行线间的距离公式）例3已知直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求直线l1与l2间的距离。解：设l1与x轴的交点为A，A点的坐标为:(4，0)。根据点到直线的距离公式：点A到l2的距离为xyol1l2A(4,0). 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程.解：由题意设所求直线的方程为则直线l与的距离，化简得|6-m|=26，即6-m=26，6-m=-26，解得m=-20，m=32则所求直线的方程为5x-12y-20=0或5x-12y+32=0故答案为：5x-12y-20=0或5x-12y+32=0 例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和B（4，-5）距离相等的直线L的方程。（1）点到直线距离公式：，（2）两平行直线间的距离：，小结：注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理为对应相等的形式。查看更多

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