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2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一）专题11两条直线的交点坐标题型一求直线交点坐标1．已知定点，点在直线上运动，当线段AB最短时，点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当直线和直线互相垂直时，线段的距离最短．即直线的方程的斜率为，所以直线的直线方程为．所以，解得，即．故选D．2．如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为___________.【答案】，，【解析】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是过另外两条直线的交点，由和的交点是，代入解得：；②是这条直线与另外两条直线平行，当和平行，只需，解得；当和平行，只需此时.综上，的取值集合是，，.故答案为：，，.3．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0（1）求直线AB的方程；（2）求点C的坐标．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为，即；（2）设，由为AC中点可得，∴，解得，代入，∴．题型二判断直线位置关系1．若曲线及能围成三角形，则的取值范围是．A．B．C．D．【答案】C【解析】曲线由两条射线构成，它们分别是射线及射线.因为方程的解，故射线与直线有一个交点；若曲线及能围成三角形，则方程必有一个解，故，因此，选C.2．两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】
①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为：C.3．直线3x－2y＋a＝0与直线(a2－1)x＋3y＋2－3a＝0的位置关系是( )A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行【答案】A【解析】令，解得2a2＝－7，无解，故两条直线不可能平行或重合，必相交，故选A．4．若方程与所确定的曲线有两个交点，则a的取值范围是________．【答案】【解析】曲线由两条射线构成，它们分别是射线及射线.因为方程的解，故射线与直线有一个交点；若曲线及能围成三角形，则方程必有一个解，故，因此，填.题型三由直线的交点求参数1．若与的图形有两个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．或【答案】A【解析】解：表示关于轴对称的两条射线，表示斜率为1，在轴上的截距为的直线，根据题意，画出大致图形，如下图，若与的图形有两个交点，且，则根据图形可知．故选：A．2．若直线在轴上的截距为，则实数可能为（）
A．B．C．D．【答案】BC【解析】由题意可知，当，即且时，令，得在轴上的截距为，即，所以或，故选：BC.3．若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则______．【答案】【解析】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由解得或.当时，二元一次方程组为，两直线不重合，故不符合题意.当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意.综上所述，的值为.故答案为：4．已知关于的方程组有唯一解，则实数的取值范围是_________.【答案】m≠4【解析】方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，由mx+4y﹣2＝0，得y，此直线的斜率为．由x+y﹣1＝0，得y＝﹣x+1，此直线的斜率为﹣1．若方程组有唯一解，则两直线的斜率不等，即，∴m≠4．故答案为m≠4．
5．三条直线，与相交于一点，求a的值．【答案】a＝﹣1【解析】解：解方程组，得，∴交点坐标为：（4，﹣2），代入直线ax+2y+8＝0，得4a﹣4+8＝0，∴a＝﹣1．题型四三线能围成三角形面积问题1．若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（）A．或B．C．且D．且【答案】D【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.①若，则由，得.②若，则由，得.③若，则由，得.当时，与三线重合，当时，平行.④若三条直线交于一点，由解得将的交点的坐标代入的方程，解得（舍去）或.所以要使三条直线能构成三角形，需且.故选：D.2．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：∵三条直线不能围成一个三角形，∴（1）若2x－3y＋1＝0与mx－y－1＝0平行，此时，若4x＋3y＋5＝0与mx－y－1＝0平行，此时；（2）三点共线时也不能围成一个三角形
2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0交点是代入mx－y－1＝0，则.故选：D.3．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（）A．B．C．D．－2【答案】AC【解析】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，所以．故选：AC.4．三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是__________．【答案】【解析】由于三条直线，，不能围成三角形，则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点.（1）直线与直线平行，则，解得；（2）直线与直线平行，则，解得；（3）若三条直线交于一点，联立，解得，所以直线，交于点，由题意可知，点在直线上，可得，解得.因此，实数的取值集合为.故答案为：.5．已知过原点的直线和点，动点,在直线上，且直线与轴的正半轴交于点．（1）若为直角三角形，求点的坐标；（2）当面积的取最小值时，求点的坐标．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）①当时，直线的方程为，则的坐标为，符合题意；②当时，由，可知，得，即的坐标为，符合题意．（2）在直线，即，，可设直线为．令有，而．（当且仅当时取等号），，此时，，的坐标为．6．已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记的面积为S(为坐标原点)，点B(a，0).（1）求实数a的取值范围；（2）求当S取得最小值时，直线l的方程.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以.（2）当直线的斜率不存在时，即,，此时,当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由于直线的斜率存在，所以，且，又，或，由，得，即，则，即，当时，，整理得，得，即的最小值为3，此时，解得：，则直线的方程为
即题型五直线交点系方程及应用1．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线方程变形得：.由得，∴直线恒过点，，，由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为.故选：C.2．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（）A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0，1)D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；对于B项，若直线l与直线x－y＝0平行，可知，解得或，所以不正确；对于C项，当时，有，所以直线过定点，所以正确；对于D项，当a＝0时，直线l的方程为，在两轴上的截距分别是，所以不正确；故选：AC.3．无论为何值，直线必过定点坐标为__【答案】【解析】根据题意，直线，即，变形可得，联立方程组，解得，即直线必过定点.故答案为：.4．直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．【答案】【解析】经过直线与直线的交点的直线可设为：把代入，得：，解得：，所以，所求的直线方程为：.5．已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？【答案】直线，过定点【解析】因为方程化简得：为任意实数，方程表示直线.因为，所以当，直线恒成立，故直线过定点.6．设直线，其中是点到直线的距离，试问：是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】不存在最大值．见解析
【解析】解.将直线的方程变形为．对于取任何实数时，此方程恒成立，则解方程组，得即直线恒过两直线及的交点．由图的图像可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．又因为过点且垂直于的直线方程是，但无论取任何实数时，直线都不能表示为，因此．所以，不存在最大值．
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