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第1课时 两条直线的交点坐标、两点间的距离[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P102～P106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？提示：直线l上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：①若方程组无解，则l1∥l2；②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；③若方程组有无数解，则l1与l2重合．(3)已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2的距离|P1P2|?提示：①当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝|x2－x1|；②当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|；③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝.2．归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标①求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．②应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系．一般地，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行(2)两点间的距离公式两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|＝
特例若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|＝[问题思考]两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？提示：可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)如何求两条直线的交点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？ ；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？ .观察图形，思考下列问题：[思考1] 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．[思考2] 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可．[思考3] 两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：
(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．(3)若两直线斜率都存在，设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.讲一讲1．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．(链接教材P103－例2)[尝试解答] 法一：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在．(2)过两条直线交点的直线方程的求法①常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．②特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．练一练
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.解：(1)解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.2．(2016·潍坊高一检测)求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程．解：法一：由得∴直线l1与l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋c＝0，把(0,1)代入所求的直线方程，得c＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.法二：设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，＝－2，解得λ＝，所以所求直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－1＝0.观察下面图形：图1图2[思考1] 如何求图1中A、B两点间的距离？提示：|AB|＝|xA－xB|.[思考2] 图2中能否用数轴上两点A，B间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．[思考3] 怎样理解两点间的距离公式？
名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|＝，利用此公式可以将几何问题代数化．(2)当直线P1P2平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：①直线P1P2平行于x轴时|P1P2|＝|x2－x1|；②直线P1P2平行于y轴时|P1P2|＝|y2－y1|.讲一讲2．已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．[尝试解答] 法一：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，又|BC|＝＝2，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．练一练3．保持讲2条件不变，求BC边上的中线AM的长．解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝
＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为. 讲一讲3．如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．[思路点拨] 先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．[尝试解答] 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等．故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，可由方程组
求得．(2)常用对称的特例有：①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．练一练3．求点A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点坐标．解：设B(a，b)是A(2,2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上．∴解得a＝1，b＝4.∴所求对称点坐标为(1,4)．—————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用．难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲1.(2)计算两点间距离的方法，见讲2.(3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲3.3．本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲1,3.课下能力提升(二十)
[学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是( )A．2ax－ay＋6＝0(a≠0)B．y＝2xC．2x－y＋5＝0D．2x＋y－3＝0解析：选D 直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．2．(2016·佛山高一检测)若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为( )A．6B．－24C．±6D．以上都不对解析：选C 分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( )A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.4．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.解：解方程组得交点P(1,1)．(1)若直线与l1平行，∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即：2x－y－1＝0.(2)若直线与l2垂直，∵k2＝，∴斜率k＝－＝－，∴所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即：2x＋3y－5＝0.题组2 两点间的距离公式
5．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则的值为( )A.B.C．3D．2解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝＝2.6．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )A．2B．3＋2C．6＋3D．6＋解析：选C |AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.7．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．解析：设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.答案：28．求证：等腰梯形的对角线相等．证明：已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．则|AC|＝＝，|BD|＝＝，∴|AC|＝|BD|.即等腰梯形的对角线相等．题组3 对称问题9．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为( )A．3x＋4y－5＝0B．3x＋4y＋5＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x－4y－5＝0解析：选B 令x＝0，解得y＝；令y＝0，解得x＝－，故和
是直线3x－4y＋5＝0上两点，点关于x轴的对称点为，过两点和的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x＋4y＋5＝0.10．已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点在直线l上，且PP′⊥l.所以解得即p′点的坐标为.(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．由得将(x1，y1)代入直线l的方程得，x＋2y－4＝0，即直线l′的方程为x＋2y－4＝0.[能力提升综合练]1．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )A．24B．20C．0D．－4解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.2．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )A.B.C.D.解析：选C 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.3．(2016·阜阳高一检测)已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2,3)B．(－2，－1)C．(－4，－3)D．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)．4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则m的值为________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则＝≠或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0，解得m＝－或－1.答案：－或－15．若直线l:y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l:y＝kx－必过点(0，－)．当直线l过A点时，两直线的交点在x轴上；当直线l绕C点逆时针(由位置AC到位置BC)旋转时，交点在第一象限．根据kAC＝＝，得到直线l的斜率k＞.∴倾斜角α的范围为30°
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